正项级数敛散性一种判别方法

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２９卷第２期　渤海大学学报（自然科学版）　Ｖ０１．２９　ＮＯ．２　２　０　０　８年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｏｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊｕｎ．２００８　正项级数敛散性一种判别方法　钱伟懿　（渤海大学数学系，辽宁锦州１２１０１３）　摘要：对于正项级数敛散性判定，当比式判别法失效时，给出一种新方法。该方法在判别　某些正项级数敛散时比拉贝判别法更方便。　关键词：正项级数；敛散性；判别法　中图分类号：Ｏ１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—０５６９（２００８）０２—０１５５—０３　０　引言　（２）若∑ｎ　发散，则∑ｂ　发散。　关于正项级数的敛散性判别是数学分析中的　一个重要内容，虽然在某些教材中给出许多方法，　定理１　设∑ｎ　为正项级数，存在正整数　如比较判别法，比式判别法、根式判别法、积分判　Ⅳ，及常数』Ｄ。　别法和拉贝判别法，但是许多学者仍然不断探索　（１）若对一切，ｚ＞Ｎ，有，ｚｌｎ—　≥ＩＤ＞１，则　新的方法　引，本文主要是当比式判别法判别级数　¨ｎ＋１　敛散性失效时，对正项级数敛散性判别进行研究。　级数∑ｎ　收敛；　当比式判别级数敛散性失效时，通常用拉贝判别　法，但有时拉贝判别法使用不太方便，针对这种情　（２）若对一切，ｚ＞Ｎ，有，ｚｌｎ—　≤ＩＤ＜１，则　¨ｎ＋１　况，本文给出一种新的判别法，该方法在判别某些　正项级数敛散性问题上比拉贝判别法更方便。　级数∑ｎ　发散。　证明　（１）若对一切，ｚ＞Ｎ，有　ｌ　引理及主要结果　ｎｌｎ　≥ＩＤ＞１，则　“ｎ＋１　引理ｌ　无穷级数∑　，当Ｐ＞１时收敛，　≥　当Ｐ≤Ｉ时发散。　因为（１＋　）　是单调递增趋于ｅ，所以　引理２－１４］　设∑ｎ　，∑ｂ　，ｎ　，　≠０为正项　级数，若存在正整数Ⅳ，当，ｚ＞Ｎ时，满足　鲁＞（１＋　），ｚ　一告一（１＋　），ｚ　Ｐ＿—车一。ｌ　　≤　。　从而　（１）若∑ｂ　收敛，则∑ｎ　收敛；　收稿日期：２００７—０３—０４，　基金项目：辽宁省教育厅高校科研基金资助项目（Ｎｏ：２００４Ｃ０５８）．　作者简介：钱伟懿（１９６３一），男，教授，从事最优化理论与应用及数学分析教学科研工作　维普资讯 http://www.cqvip.com １５６　渤海大学学报（自然科学版）　第２９卷　∑ｎ　发散。　≤　ａ　１　当』Ｄ＜１时，有，９＋ｅ＞１，由定理１知，级数　若　由引理１知，级数∑　１收敛，　切　再由引理２知，对　一　∑　发散。　级数∑ａ　收敛。　羔　≤　有　。　因为（１＋　）“＋　是单调递减趋于ｅ，≤　Ｐ　所以　＜　等＜（１＋　州）上：（１＋　。　ｎ　则　，‘　由－￣ｌｉｍ（ｐ＋－－Ｐ　）：ｌＤ＜１，所以存在正整数Ⅳ　及　●ｏ。　，‘　ｄ＞０，当，ｚ＞Ｎｌ时，有　』Ｄ＋鲁＜』Ｄ＋口＜１。　于是当＂＞ｍａｘ｛Ｎ，Ｎ　｝时有　上　景≤　ｃ１＋　一　ｒｉＰ＋　ａ＇　即　ａ　￣＋－－－－－　Ａ１　。　以　上　ｎＰ＋　由引理１知，级数∑　南发散，再由引理２知，级　ｎ＝１　数∑ｎ　发散。　定理２　设∑ｎ　为正项级数，且极限　一１　・ｉ　ｎ一熹１月一＋ｏ。　抖　　存在，则　（ｉ）当Ｐ＞１时，级数∑ｎ　收敛；　Ｈ；１　（ｉｉ）当』Ｄ＜１时，级数∑ｎ　发散。　证明　由式（１），取正数ｅ＜　一１　ｌ，存在正　整数Ｎ，当　＞Ｎ时，有　Ｐ—ｅ＜　１ｎ　ａ．２　＜』Ｄ＋ｅ。　当』Ｄ＞１时，有，９一ｅ＞１，由定理１知，级数　２　举例　例１　判定正项级数　的收敛性。　解　方法一，用拉贝判别法解。　令ｎ　＝　，则　ｌｉｍｎ（１一　）＝ｌｍｎＨ—ｏ。　“Ｈ＋１　…ｉ一ｏ。　（１一—÷。　　１　ｌ…ｉｍｎＥｅ一（１＋　］：÷　一（１＋　］＝÷　韭＝’　二＝＝　ｉｍ一［（１＋￡）÷］　＝　。　ｎ　１　ｌｉａｒ（１＋ｆ）　１　—１　ｔ－－（１＋　ｔ）ｌｎ（１　＋ｔ）　———————————————　——————　．—　—一一ｅ　ｏ　羔　—ｌｉｍ　＝　二二：　ｆ　０　ｉｍ—－—１一一ｌｌｎ（　１＋ｔ）一一——　一　　。　ｎ　……因为　１＜１，所以薹　发散。　方法二，本文方法。　一南　ｌｉｒｏｎ（１一　“…　ｌｎ（１＋　））一　ｚ［　一ｌｎ（１＋　）］一　，２　—ｏ。　，‘　～　．．１一　ｌｉｍ　一　—　一一　ｆ—－０　ｆ—　０　厶‘　ｌ　７Ｉ　Ｙｌｌ　　—　，、一９、：丢＜　。　。　所以薹　发散。　例２　判别正项级数　薹ｃ　解　方法一，等　用拉贝判别法解　收舭　令　一ｃ　．由于　ｌｉｍｎ（１一ａ　ｎ＋１）一　［１一（　用一　ｎ——ｏ。　“¨　ｎ一。。　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　钱伟懿：正项级数敛散性一种判别方法　１５７　一・ｃ，。　＋ａ去　１＝　…　　５　（１＋—２ｎ　＿ｌ十ｌ　）一　・　ｃ　一　。　ｉｍ。。　一　＞ｌ一号＞１。　所以所以妻ｃＬ　收敛妻ｎ。　＝ｌ　ｃ　暑　）　收敛。　ｎ＝ｌ　从上两例可以看出在解决某些问题时，本文　方法二，本文方法求解。　方法要比拉贝判别法方便。　参考文献：　［１］周玉霞．关于正项级数敛散性判定的一类方法［Ｊ］．大学数学。２００６，２２（１）：１０９一ｎＯ．　［２］钱泽平，孙胜先．一般项为幂指数函数的级数的审敛法［Ｊ］．大学数学，２００５，２１（２）：８５－－８７　［３］华北师范大学数学系．数学分析ｔ第三版，ＴＪＩＩ￣－［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６．　［４］唐翠娥．级数敛散性的拉阿贝判别法的推广［Ｊ］．大学数学，２００５，２１（２），ｌ３２一ｌ３４．　Ｎｅｗ　ｔｅｓｔ　ｆｏｒ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｅｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｔｅｒｍｓ　ＱＩＡＮ　Ｗｅｉ—ｙｉ　（Ｄｅｐｔ．ｏｆ　Ｍａｔｈｓ，Ｂｏｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｚｈｏｕ　１２１０１３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａｎｅｗ　ｔｅｓｔ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｏｒ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｅｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｔｅｒｍｓ　ｗｈｅｎ　Ｒａｔｉｏｎ　ｔｅｓｔ　ｆａｉｌｓ．Ｔｈｉｓ　ｔｅｓｔ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　Ｒａａｂｅ　ｔｅｓｔ　ｆｏｒ　Ｒａａｂｅ　ｔｅｓｔ　ｆｏｒ　ｃｏｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｃｏｎ—　ｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｔｅｒｍｓ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｅｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｔｅｒｍｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｔｅｓｔ