三角函数应用题

1、（2012 江苏宿迁）如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端

距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠BDF=30°， 且点距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度。

2、（2012 江苏盐城）如图所示,当小华站立在镜子EF前A处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为45；如果小华向后退0.5米到B处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30.求小华的眼睛到地面的距离.(结果精确到0.1米,参考数据:31.73)

D

B

A

C 30º 45º

F

E A1 B1

3、（2012 江苏泰州） 如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居

民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，

点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内． （1）求居民楼AB的高度； （2）求C、A之间的距离． （精确到0.1m，参考数据：

4、（2010 江苏淮安）某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB表示楼梯，BC表示平台，

CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=BF=3米，BC=1米，CD=6米．求： (1) ∠D的度数； (2)线段AE的长．

23A C 21.41,31.73,62.45）

60° 45° B P

，

5、（2010 江苏扬州）如图，在△ABC中，ABAC，以AB为直径的半圆O交BC于 点D，DEAC，垂足为E. （1）求证：点D是BC中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （3）如果⊙O的直径为9，cosB13，求DE的长.

CE

DB

OA

6、（2012 上海）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为 点E．已知AC=15，cosA= （1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值．

35．

答案：1、解：先过点B作BG⊥DE于点G． ∵DE⊥CE，EC⊥CE，DF⊥AC， ∴四边形DECF是矩形， ∵BC=1m，DE=2m， ∴EG=BC=1m，DG=BF=1m， 在Rt△DBF中，

∵∠BDF=30°，BF=1m，

∴DF=BF tan30° =1 3 3 = 3 ， 同理，在Rt△ADF中， ∵∠ADF=60°，DF= 3 ， ∴AF=DF•tan60°= 3 × 3 =3m． ∴AB=AF+BF=3+1=4m． 答：壁画AB的高度是4米．

2、解：设ACx(m)，则在RtCAA1中，∵CA1A45, ∴ACAA1x„„3分 又在RtDB1B中，∵DB1B30,∴tanDB1B∴BB1DBBB133„„„„„„„„5分

3x „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

由对称性知：AEA1E，BEB1E，∴BB1AA11,即3xx1„„„„„8分 解得x3121.4 ,∴小华的眼睛到地面的距离约为1.4(m) „„„„„„„„10分

(说明:未写答的,不扣分；其它解法，仿此得分)

3、（1）AB=15221.2（m）（2）CA=56152略（注意精确度）

4、【分析】（1）要求∠D的度数，可以求出CE和CD的长度，进而根据直角三角形30°角的判定方法求出∠D的度数；（2）要求AD的长度，可以根据解直角三角形的正弦值，求出AF，然后再结合勾股定理求出DE，从而求出AD． 【答案】解：（1）∵四边形BCEF是矩形， ∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，

∴∠BFA=∠CED=90°， ∵CE=BF，BF=3米， ∴CE=3米， ∵CD=6米，∠CED=90°， ∴∠D=30°. （2）∵sin∠BAF=

23，

∴

BFAB23，

∵BF=3米， ∴AB=

92米，

∴AF9352米， 3222∵CD=6米，∠CED=90°，∠D=30°， ∴cos30DECD32

∴DE33米，

9322∴AE=米.

【涉及知识点】解直角三角形、勾股定理、直角三角形的性质、矩形的性质

【点评】本题属于综合性的问题，设计的知识点比较多，属于中等偏难的问题． 5、（1）证明：连接AD， 因为AB是直径，所以∠ADB是直角，

即AD⊥BC，

又因为△ABC中，AB=AC，

所以，根据等腰三角形的“三线合一”性质知BD=CD，

即：点D是线段BC的中点。 （2）DE是⊙O的切线。

证明：连接OD， 因为OD=OA， 所以∠ODA=∠OAD，

△ABC是等腰三角形，AB=AC， AD⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”

性质知∠OAD=∠CAD 所以，∠ODA=∠CAD

因为DE⊥AC，所以∠EDA+∠CAD=90°

°

所以，∠EDA+∠ODA =90 即：OD⊥DE

所以，根据切线的定义知，DE是⊙O的切线。

（3）解：因为AB是⊙O的直径

所以∠ADB=90°

BD

在Rt△ADB中， 因为cos∠B=

AB所以，BD=CD=3

在Rt△CDE中， 因为cos∠C=

CE CD

1

所以CE=CD·cos∠C=3·cos∠B=3× =1

3在Rt△CDE中,根据勾股定理知 DE=32-12 =22

6、【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=15，cosA=

ACAB15AB35，∴AB=25。

252∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=（2）在Rt△ABC中，BC又AD=BD=CD=

2522。

AB－AC2225－1520。

22，设DE=x，EB=y，则

225 在Rt△BDE中，x+y=①，

222522 在Rt△BCE中，x++y=20②，

22 联立①②，解得x=

72。

7 ∴sinDBE7。 2=2525BD2DE【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；

（2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=

定理即可求出x的值，据此解答即可。

252 ，设DE=x，EB=y，利用勾股