价格决定报童模型不确定需求在普通随机序下的一些结果

第２９卷第１期　２０１１年０１月　佳木斯大学学报（自然科学ｔ版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｉｏｎ）　Ｖ０Ｉ＿２９　Ｎｏ．１　文章编号：１００８—１４０２（２０１１）Ｏ１—０１００—０２　价格决定报童模型不确定需求在普通随机序下的一些结果①　杨明霞　（西北师范大学数学与信息科学学院。甘肃兰州７３００７０）　摘要：　在普通随机序下讨论了一般情形价格决定报童模型不确定需求的一些结果文献标识码：　Ａ　．　关键词：报童模型；普通随机序；不确定需求；随机变量；平均利润函数；最优销售价格　中图分类号：０２１１．６７　０引言　１模型　在许多行业，供应商们做着各种各样的销售　努力，目的是增加他们产品的销售，以刺激他们　的经销商或零售商订购更多的产品．零售商也从　考虑一个价格相依随机需求报童模型．在销　售季节开始，为了使平均利润最大，零售商要对　销售价格和订购量做一个联合的决策．让ｃ是单　位订购成本，ｂ≥０是缺货成本，在销售季节末　事着各种各样的需求改善活动．一个有趣的问题　出现了：在一定需求改善活动下，如果市场的随　机需求变的比较大时，这些努力会使零售商的订　购量增多吗？当市场需求变得比较大的时候，零　期，用单价ｓ处理剩余库存，Ｐ为销售价格，　最大　可接受的价格，且Ｐ∈（Ｃ，Ｐ一）．为了避免麻烦，假　定Ｃ＞　≥０．　售商可能订购很少的产品使剩余库存减少，同时　制定一个较高的销售价格去赚取更大的利润．　让Ｄ是支撑在［Ｌ，Ｕ］上的随机变量，Ｄ表示　随机需求，Ｆ（　）为Ｄ的分布函数．　这篇文章第一个目的是针对一般情形价格决　定报童模型来研究一个随机比较大的需求对最优　销售价格和订购量决策的影响，这些结果对评估　不同销售努力的影响是有用的．虽然不同的销售　ｑ表示订购量，对任何可实现的需求Ｄ，报童　模型的利润函数是　ｎ（ｑ，Ｐ，Ｄ）＝ｐｍｉｎ｛ｇ，Ｓｔ＋ｓ　Ｅ　ｑ—Ｄ］　一努力可能增加市场的需求，但有些销售努力也会　减少随机需求．那么，另一个有趣的问题出现了：　ｂｉＤ—ｑ］　一ｃｑ　（１）　这里ｚ　：ｍａｘ｛０，　｝．报童模型平均利润函数　是　如果随机需求减少，那么一个公司会订购多少数　量的产品或者制定一个怎样的销售价格？这就是　文章第二个研究目的．　过去十年，在运筹管理研究领域，联合定价和　订购问题已经受到非常多的关注，对于更广泛的　７ｒ（ｇ，ｐ）＝Ｅ［Ⅱ（ｇ，Ｐ，Ｄ）］＝（ｐ＋ｂ—ｃ）ｑ　一（ｐ＋ｂ—ｓ）Ｊ．Ｆ（　）　一ｂＥ（Ｄ）　（２）　如果Ｐ是固定的，众所周知，最优订购量是ｑ　（Ｐ）　研究，请参阅文献［１—２］．最近几年，一些文章主　要在加性和乘积性模型下研究报童问题，请参阅　＝。ｒｇ　（　）＝Ｆ　（ｒ），ｒ＝　文献［３—５］．然而，这篇文章主要研究一般情形　价格决定报童模型在普通随机序下的结果．　文章的第二部分我们回忆一些概念和普通随　机序的定义，第三部分我们研究一般情形价格决　定报童模型随机需求的在普通随机序下的一些结　果．　①这里Ｆ　（　）是Ｆ（　）的反函数．　本文对两个库存系统运用随机比较，用ｉ（ｉ＝　１，２）表示库存系统ｉ（ｉ＝１，２），让　表示随机需　求，　为分布函数．基于本文主要研究的需要，引　入普通随机序的定义及相关的引理．　定义１［　设Ｄ　和Ｄ：是两个随机变量，如果　收稿日期：２０１０—１２—２２　作者简介：杨明霞（１９７９一），女，甘肃庆阳人，硕士研究生．主要研究方向为应用概率统计、可靠性理论及金融数学　第１期　杨明霞：价格决定报童模型不确定需求在普通随机序下的一些结果　１０１　对任意的ｔ，有Ｐ｛Ｄ　＞ｔ｝≥Ｐ｛Ｄ２＞ｔ｝，则称ＤＩ　＝在普通随机序下大于Ｄ　，记作Ｄ，≥　Ｄ２．　Ｉ　（　（　）一　（　））　≤０　Ｊ　Ｌ　引理１　对任意增函数　，有Ｄｌ≥　Ｄ２§　这里的第一个不等式从ｑ２　（Ｐ）≥ｑ２　（Ｐ）来，因此　Ｅ［ｕ（Ｄ　）］≥Ｅ［　（Ｄ　）］．特别，Ｄ　≥　Ｄ：蕴含　ｐ：≥ｐ；．　Ｅ［Ｄ１］≥Ｅ［Ｄ　］．　定理２　对一个指定的Ｐ，如果Ｄ　≥　Ｄ　，那　因此随机比较大的变量有比较大的均值．　么，对任意的ｑ　—２　随机比较大需求的一些结果　ｂ［Ｅ（Ｄ　）一Ｅ（Ｄ　）］≤　。（ｑ，Ｐ）一７ｒ２（ｑ，Ｐ）　≤（Ｐ—ｓ）［Ｅ（Ｄ　）一Ｅ（Ｄ　）］　本节主要研究随机需求关于最优决策和最大　因此，々ｒ１（ｑｌ’（Ｐ），Ｐ）一７ｒ２（ｑｚ　（Ｐ），Ｐ）与７ｒ　（ｇ，　利润的一些结果．随机比较大的需求产生一个比　Ｐ）一仃　（ｑ，Ｐ）有同样的上界和下界．而且一　较高的销售价格，但是，关于最优订购量的结果　ｂ［Ｅ（Ｄ，）一Ｅ（Ｄ２）］　≤７ｒ　一７－１－２　≤（Ｐｌ　一　是复杂的，即，随机比较大的需求不一定产生一　ｓ）［Ｅ（ｏ　）一Ｅ（Ｄ：）］．　个较高的订购量，有可能产生一个较高或较低的　证明　一方面，根据（３）式，有　利润．　下面给出一般情形价格决定报童模型在普通　仃　（ｑ，Ｐ）一７ｒ２（ｑ，Ｐ）＝（ｐ＋ｂ—ｓ）ｆＪＬ　，（　（　）　随机序下的一些结果．把ｑ　（Ｐ）带人（２）式，可以　—Ｆ　（　））　一ｂ［Ｅ（Ｄ　）一层（Ｄ　）］　得到　≥一ｂ［Ｅ（Ｏ　）一　（Ｄ：）］　．　７Ｔ（ｑ　（ｐ），Ｐ）＝（ｐ＋ｂ—Ｃ）ｑ　（ｐ）　另一方面，注意到Ｅ（Ｄ　）＝　＋ｆ，［１一　一（Ｐ＋ｂ—ｓ）ｆ　Ｆ（　）ｄｘ—ｂＥ（Ｄ）　（３）　Ｆ　（　）］ｄ　，因此　，Ｕ　（３）式关于Ｐ求导，可以得到　７ｒ１（ｑ，Ｐ）一７ｒ２（ｑ，Ｐ）≤（Ｐ＋ｂ一５）ｆ　（Ｆｚ（　）　’　：Ｌ＋　（　）ａｘ（４）　一ｕｐ　Ｊ　Ｌ　Ｆ　（　））ｄ　一ｂ［Ｅ（Ｄ　）一Ｅ（Ｄ　）］　从定义ｌ，直接可以得到下面的命题，这个命　＝（Ｐ＋ｂ—ｓ）［Ｅ（Ｄ１）一Ｅ（Ｄ　）］　一题阐述关于一个指定的销售价格，一个比较大的　ｂ［Ｅ（Ｄ　）一Ｅ（Ｄ　）］　需求可以产生一个较高的订购量．　＝（Ｐ—ｓ）［Ｅ（Ｄ　）一Ｅ（Ｄ：）］　命题１　对一个给定的价格Ｐ（Ｐ＞ｃ），如果Ｄ　因此，　≥　Ｄ　，那么ｇ　（ｐ）≥ｑ　（ｐ）．　仃ｌ（ｑｌ　（Ｐ），ｐ）一　（ｑ２　（Ｐ），ｐ）　让Ｐ　＝ａｒｇｍａｘｐ∈（ｃ≥仃】（ｇ　（ｐ），ｐ）一７ｒ２（ｑ２　（Ｐ），Ｐ）　，ｊ）７ｒｉ（ｑ　（Ｐ），Ｐ）；ｒｌ　＝　≥一ｂ［Ｅ（Ｄ　）一Ｅ（Ｄ：）］，　Ｊｐ　—！　：　■　～，半十０一ｓ　，７仃ｉｒｉ　：々　仃　７－　（ｑｉ’ｔ，　Ｐｉ’），，　Ｐｌ　）（　：１‘　ｌ，　Ｊ２）．下　・ｆ、　７ｒ　（ｑｌ　（Ｐ），Ｐ）一仃２（ｑｚ　（Ｐ），Ｐ）　面的定理证明了比较大的需求产生较高的销售价　≤７ｒ１（ｑｌ　（Ｐ），Ｐ）一７ｒ２（ｑｌ　（Ｐ），Ｐ）　格．　≤（Ｐ一５）［Ｅ（Ｄ　）一Ｅ（Ｄ　）］，　定理１　如果Ｄ１≥　Ｄ　，那么ｐ】－Ｉ≥　．　而且一ｂ［Ｅ（Ｏ　）一Ｅ（Ｄ　）］　证明　根据文献［３］中的定理１可知，ｐ　满　≤仃　（ｑｌ’（ｐ　），ｐ　）一７『　（ｇ　（Ｐ２　），ｐ　）　ｒｑ。　（Ｐｒ）　≤仃ｆ一仃　≤７ｒ１（ｑｌ　（Ｐ　），Ｐ１．）　足Ｌ＋Ｉ　１（　）ｄｘ＝０．对７ｒ２（ｑ２　（Ｐ），Ｐ）关于　一　（ｇ｜．（Ｐｌ　），Ｐ　ｚ’）≤（ｐ　一ｓ）［　（Ｄ。）　Ｐ在ｐ　处求导，由（４）式可知，　一Ｅ（Ｄ：）］　——　＿ｆ　，　Ｌ＋Ｊ￡＋　从定理２来看，缺货成本ｂ＝０时，比较大的　：　２　，（　）出　　需求将产生一个较高的平均利润．如果ｂ＞０，情　‘（Ｐ　）　ｒｑ，　（Ｐ　）　＝ｆ　（　）ｄｘ—ｆ　（　）ｄｘ　况就比较复杂了．　，ｑ　（ＰＣ）　ｒｑ．　（ｐ　）　≤ｆ‘　（　）ｄｘ～ｆ‘　（　）　（下转１０４页）　１０４　佳木斯大学学报（自然科学版）　参考文献：　２０１１牟　ｍ　ｎ　ｄ　，其中ｄ　Ｉ　对于结论（２）显然成立．　定理９　奇数阶群或者没有２阶元，或者有偶　［１］张远达．有限群构造（上册）［Ｍ］．北京：科学出版社．１９８２．　［２］沈如林．元素的阶与幂零群的刻画［Ｊ］．湖北民族学院学报　（自然科学版），２００９，（３）．　数个２阶元．　证明：　由前面定理知，在群Ｇ中１阶元只有１　［３］熊全淹．近世代数（修正版）［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社　１９８４：２５—４２．　个，２阶以上的元有偶数个，无限阶元也是偶数个，　因此在奇数阶群中２阶元要么没有，要么有偶数个．　［４］徐明曜．有限群导引（上册）［Ｍ］．北京：科学出版社．２０００．　［５］王萼芳．有限群论基础［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００２．　Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｏｒｄｅｒ　ｏｆ　ａｎ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　ｉｎ　Ｇｒｏｕｐ　ＺＨＵ　Ｃｈｏｎｇ——ｌｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００５９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ，ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｅｌｅ—　ｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｎａｔｕｒｅ　ａｎｄ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ　ｔｈａｔ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｎａｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｇｒｏｕｐ　ｌａｉｄ　ａ　ｓｏｌｉｄ　ｆｏｕｎｄａ—　ｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ　ｌｉｎｋ　ｂｅｔｗｅｅｎ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　ｏｒｄｅｒｓ　ａｎｄ　ｇｒｏｕｐｓ，ａｎｄ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｏｒｄｅｒｓ　ａｎｄ　ｇｒｏｕｐ　ｔｈｅ　ｉｎｔｒｉｎ—　ｓｉｃ　ｌｉｎｋ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｔｙｐｅｓ　ｗｅｒｅ　ｅｘｐｌｏｒｅｄ．Ｇｒｏｕｐ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｉｎｔｉｎｓｉｃａｌｌｙ　ｌｉｎｋｅｄ．ｒ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐ；ｅｘｃｈａｎｇｅ　ｇｒｏｕｐｓ；ｕｎｉｔ　ｅｌｅｍｅｎｔ；ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ；ｅｌｅｍｅｎｔ　ｏｒｄｅｒ　（上接１０１页）　参考文献：　［１］Ｙａｎｏ，Ｃ．Ａ．，Ｇｉｌｂｅｒｔ，Ｓ．Ｍ．，（２００３）．Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｄ　Ｐｒｉｃｉｎｇ　ａｎｄ　Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ／Ｐｒｏｃｕｒｅｍｅｎｔ　Ｄｅｃｉｓｉｏｎｓ：Ａ　Ｒｅｖｉｅｗ．Ｉｎ：Ｃｈａｋｒａｖａｒｔｙ，　ｌｅｍ　ｗｉｔｈ　Ｐｒｉｃｉｎｇ：Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｎａｇｅ—　ｍｅｎｔ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　１（１）：３—１６．　ｌ，Ｐ．ｃ．，（２００９）．Ｔｈｅ　Ｉｍｐａｃｔ　ｏｆ　Ｃｕｓｔｏｍｅｒ　Ｒｅｔｕｒｎｓ　［４］　Ｃｈｅｎ，Ｊ．，Ｂｅｌｏｎ　Ｐｒｉｃｉｎｇ　ａｎｄ　Ｏｒｄｅｒ　Ｄｅｃｉｓｉｏｎｓ．Ｅｕｒｏｐｅａｎ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ　Ａ…Ｅｌｉａｓｈｂｅｒｇ，Ｊ．（Ｅｄｓ），Ｍａｎａｇｉｎｇ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｉｎｔｅｒｆａｃｅｓ：Ｍａｒ－　ｋｅｔｉｎｇ，Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ　Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ．Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃ－　ａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，ｂｏｓｔｏｎ，ＭＡ．　Ｒｅｓｅａｒｃｈ．１９５（１）：２８０—２９５．　［５］　Ｍｉｎｇｈｕｉ　Ｘｕ．，Ｙｏｕｈｕａ　Ｃｈｅｎ．，Ｘｉａｏｌｉｎ　Ｘｕ．，（２０１０），，＂１３ａｅ　Ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　Ｄｅｍａｎｄ　Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｉｎ　ａ　Ｐｒｉｃｅ—ｓｅｔｔｉｎｇ　Ｎｅｗｓｖｅｎｄｏｒ　［２］Ｅｌｍａｇｈｒａｂｙ，Ｗ．，Ｋｅｓｋｉｎｏｃａｋ，Ｐ．，（２００３）．Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｐｒｉｃｉｎｇ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ　Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ：Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｏｖｅｒｖｉｅｗ，　Ｃｕｒｒｅｎｔ　Ｐｒａｃｔｉｃｅｓ，ａｎｄ　Ｆｕｔｕｒｅ　Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ．Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　Ｓｃｉｃｅｎｅｅ　Ｍｏｄｅ１．Ｅｕｒｏｐｅａｎ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ．　ｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｏｒｄｅｒｓ．　［６］　Ｓｈａｋｅｄ，Ｍ．，Ｓｈａｎｔｈｉｋｕｍａｒ，Ｊ．Ｇ．，（２００６）．ＳｔＳｐｒｉｎｇ，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ．　４９（１０）：１２８７—１３０９．　［３］Ｙａｏ，Ｌ．，Ｃｈｅｎ，Ｙ．Ｆ．，Ｙａｎ，Ｈ．。（２００６）．Ｔｈｅ　Ｎｅｗｓｖｅｎｄｏｒ　Ｐｒｏｂ－　Ｔｈｅ　Ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　Ｄｅｍａｎｄ　Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｉｎ　ａ　Ｐｒｉｃｅ——ｓｅｔｔｉｎｇ　Ｎｅｗｓｖｅｎｄｏｒ　Ｍｏｄｅｌ　ｂｙ　Ｕｓｕａｌ　Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｏｒｄｅｒ　ＹＡＮＧ　一ｘｉａ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ　ｔ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｕｒｐｏｓｅ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｔｏ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｄｅｍａｎｄ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｉｎ　ｐｒｉｃｅ—ｓｅｔｔｉｎｇ　ｎｅｗｓ—　ｖｅｎｄｏｒ　ｍｏｄｅｌ　ｂｙ　ｕｓｕａｌ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｏｒｄｅｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｎｅｗｓｖｅｎｄｏｒ　ｍｏｄｅｌ；ｕｓｕａｌ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｏｒｄｅｒ；ｄｅｍａｎｄ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ；ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ；ｍｅａｎ　ｐｒｏｆｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｅｌｌｉｎｇ　ｐｒｉｃｅ