浙大05–06年夏季学期《 微积分Ⅲ》期末考试试卷2

《微积分Ⅲ》课程期末考试试卷

开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间：2007年7月6日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________ 题序 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 总 分

一、 填空题（每小题5分，满分25分） x2y2z221． 设曲线C： ，则

xy0czds2.

2． 设l为圆周xy22R，沿正向，则lim2Rlydxxdyxy44. .

1x3． 设duysin(xy)dxxsin(xy)2dy，则u(x,y)yy4．

22xyzdxdydz2.

,divrotfxyz15． 设f(x,y,z)yzi2zxj5xyk，则rotf.

二、 计算题（每小题10分，共40分）

1． 求 L(xy)ds，其中L为由yx与yx所围成的闭曲线.

232． 设V(t)(x,y,z)xyzt，求limt022221bt(xV(t)2yz)2dxdydz，

22其中a,b为常数，且ba30.

22沿直线到点3．设l为从点AB3,的直线段，计算5,35lxexy22xydxexyx22xydy.

4．计算xyzds，其中S为x2y2z2a2(a0).

S

1

三、 （13分）设r I222(x1)(y1)(z3)，分别计算

Sx1r3dydzy1r3dzdxz3r3dxdy，其中：

（1） S为立体(x,y,z)x2,y2,z2的表面，取外侧； （2） S为立体(x,y,z)x4,y4,z4的表面，取外侧；

四、 （12分）求非负连续函数yf(x)，使其满足f(1)1，且对任意的a0，由曲线

yf(x)和直线y0,x0,xa围成的平面图形绕x轴旋转一周而得的旋转体的形

心的x坐标为

11123a.

五、 （10分）计算 I0dxxdyyzyedz

42

参考解答：

x1一、1．22； 2. 0； 3.

ycos(xy); 4.

6; 5. {3x,4y,z}, 0.

二、1．L31:yx(0x1),ds2dxL2:yx(0x1),ds19x2dx， (x3y)ds32LLxds2x3ds130x2dx10x319xdx

L1L2223（不易积分）

b 2．设 I(t)(x2y2z2)2dxdydz

V(t)240d0dtb20sind3btb3

44 原式lim13b,ba3t0tV(t)lim3btb3t0 0,ba32xy 3．

Qyexyxexxx2y2Py，积分与路径无关，取路径L:xy2,x:53x2e222 原式12dxexlxydy35xdx8

4．S:x2y2z2a2(a0),D222xy:xya，

n01a{x,y,z},dSazd

原式3|z|dS6zdS6zad6a3

SS1Dxyz三、

PxQyRz0，

（1）V中无奇点，则I = 0.

(2)V中有奇点(1,1,3)，设S21为V:(x1)(y1)2(z3)21表面外侧，

则 I(x1)dydz(y1)dzdx(z3)dxdy3dV4

S1V四、 旋转曲面S:y2z2f2(x),(０xa)， 旋转体 V:０xa,D2222x:yzf(x),Va0f(x)dx，

xdVa0xdxda20xf(x)dx

VDz 3

xVxdVVa0a0xf(x)dxf(x)dx2223a， a032a0xf(x)dx2a2a0f(x)dx2

方程两边对a求导23af(a)2f(x)dx2af(a)

22af(a)2a02f(x)dx 方程两边对a再求导，

22f(a)2af(a)f(a)2f(a)f(a)2af(a)

x解得 f(a)Ca,f(1)1,

五、交换积分次序

111C1, f(x)

I0dxz4xdyz0y2yedz10z410edzz0z4z0ydyy010dx

3z410edzydyedzz4ydy213zedz112(e1)

4