绝对值不等式

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选修4-5学案 1.2.1绝对值不等式 ☆学习目标： 1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用

4．设a为正数, 根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

它的几何意义就是数轴上的点的集合是开区间，如图所示.

5．设a为正数, 则⑴f(x)a

⑵f(x)a

⑶设ba0, 则af(x)b

6． ⑴f(x)≥g(x) ；

⑵f(x)g(x) . 案例学习：

解不等式|x25x5|1．［题1］解不等式|x25x5|1．

;

☆探究：许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量，等等，它们都要通过非负数来表示.因此，研究含有绝对值的不等式具有重要大的意义. ☻建构新知：

 1．绝对值的定义：aR，|a| 2. 绝对值的几何意义：

⑴实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A

⑵两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，

那么|ab|的几何意义是

☻建构新知：含绝对值不等式的解法

3．设a为正数, 根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

它的几何意义就是数轴上的点的集合是开区间，如图所示.

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［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次

不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数yx25x5与y1的图

象，解方程x25x51，再对照图形写出此不等式的解集。

练习: 解不等式4|2x3|7 .

［收获］形如|f(x)|g(x)型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)

练习:解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）

3x≤1 2x4

2.方程

x2x3x2xx2|x2的解集为 ,不等式2x|3xx2x的解集是

第2变含两个绝对值的不等式

［变题2］解不等式（1）|x－1|<|x+1|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.

若将(1)更改为|x－1|<|x+a|，如何求解？

第1变右边的常数变代数式

例2.解不等式(1)3x1x2; (2)3x12x.

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［收获］1）形如|f(x)|<|g(x)|型不等式

此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

|f(x)|<|g(x)|f2(x)g2(x)[f(x)g(x)][f(x)g(x)]<0

2）所谓零点分段法，是指：若数x1，x2，„„，xn分别使含有|x－x1|，|x－x2|，„„，|x－xn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2，„„，xn为相应绝对值的零点，零点x1，

第3变解含参绝对值不等式

［变题3］解关于x的不等式

［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。

2）形如|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

① 当a>0时，|f(x)|af(x)>a或f(x)<－a； ② 当a=0时，|f(x)|af(x)≠0 ③ 当a<0时，|f(x)|af(x)有意义。

练习．关于x的不等式|kx－1|≤5的解集为{x|－3≤x≤2}，求k的值。

x24mx4m2m3

x2，„„，xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化

练习1.设函数f(x)x1x4．

1解不等式f(x)2；2求函数yf(x)的最值．

2. 解不等式(1)2x13x25; (2)x2x15 .

3 画出不等式xy1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式 x1x11;

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2.（03北京春）若不等式ax26的解集为1,2，则实数a等于( ) A. 8 B. 2 C. 4 D. 8

第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题

［变题4］若不等式|x－4|+|3－x|［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。

2）fxa有解afxmin； fxa有解afxmin；

由f(x)1 y 3 2 1 0 3 4 x （四）考虑|z-4|+|z-3|当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1原不等式有解a>1即为所求（五）可利用零点分段法讨论.

将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间. 当x<3时，得(4-x)+(3-x)

有解条件为

7a. 2fxa解集为空集afxmin； fxa解集为空集afxmin fxa恒成立afxmax ; fxa恒成立afxmax fxa有解afxmax； fxa有解afxmax fxa解集为空集afxmax;；fxa解集为空集afxmax； fxa恒成立afxmin。 fxa恒成立afxmin

3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|当|x-4|+|x-3|1 （二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有： y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|

 |PA|+|PB|1 恒有y1

7a<3 即a>1 2当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)1 当x>4时，得(x-4)+(x-3)有解条件为

7a 27a>4 即a>1 2以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1. 评注：

1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。 2、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法变题：

1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围 2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围

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数按题意只须a>1 A B P 0 3 4 x （三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象

练习：

1. 不等式 x1x3>a，对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是

2.对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是 3.对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，则a的取值范围是

4.若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是 5．已知A{x2x3a}，B{xx≤10}，且AB，求实数a的范围.