高等数学II期中试卷Word版

高等数学II 期中试卷

一、选择题（每小题3分，共计 15 分）

1、函数f(x,y)xyx2y20x2y20x2y20在（0，0）点 。

(A)．连续，偏导函数都存在； (B)．不连续，偏导函数都存在；

(C)．不连续，偏导函数都不存在； (D)．连续，偏导函数都不存在。

2、二重积分xydxdy（其中D：0yx2,0x1）的值为 。

D(A)．

1； 6(B)．

1； 12(C)．

1； 2(D)．

1。 4zz3、设f为可微函数，xazf(ybz)，则ab 。

xy (A)．1； (B)．a； (C)．b； (D)．ab。 4、设D是以原点为圆心，R为半径的圆围成的闭区域，则= 。

R4R4R44 (A)．4； (B)．3； (C)．2； (D)．R。

Dxyd

5、设f(x,y)在D:0y1x , 0x1上连续，则二重积分f(x,y)d表示

D成极坐标系下的二次积分的形式为 。 ((B)．((D)．2 0 2 0 A)．

；

2 0 df(rcos,rsin)rdr 0 1；

d cossin 0f(rcos,rsin)rdrC)

．

2 0 d 1cos 0f(rcos,rsin)rdr；

d1cossin 0f(rcos,rsin)rdr。

1 / 31

二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设z(xy)yx，则dz ，在点P(1 , 2)处的梯度

grad zP 。 2、设f(x,y)x(y1)arcsinx，则fx(x,1) 。 y3、D由曲线(x1)2(y1)21所围成的闭区域，则

(xy)dxdyD 。

4、函数uxyz在点( 5 , 1 , 2 )处沿从点( 5 , 1 , 2 )到点( 9 , 4 , 14 )所确定方向的方向导数是 。

y12x5、曲线152在点(1,1,2)处的切线方程为 ，法平

zx22面方程为 。 6、改变积分次序

 01dy 2arcsinyf(x,y)dxdy 0 1 arcsinyarcsinyf(x,y)dx 。

三、计算题（每小题7分，共计49分）

x1、求dxysindy。

y0x112、求椭球面2x23y2z29的平行于平面2x3y2z10的切平面方程。

xay3、已知zf(,)具有二阶连续偏导数，利用线性变换变换方程

xby2z2z2z2za,b取何值时，方程化为。问：当0。 3022xyyxyz4、x2y2z2xf(),f可微，求。

xx5、在经过点P(2,1,1)的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦3

限中的立体的体积最小。

6、求二元函数zx24y29在区域x2y24的最大值、最小值。 7、设区域D:1xy1，证明：ln(x2y2)dxdy0。 2D四、每小题6分，共计12分

xyf(x,y)x2y201、设

, x2y20, x2y20，用方向导数的定义证明：函数f(x,y)在

原点(0 , 0)沿任意方向的方向导数都存在。

f(x2y2)x[1]dxdy, x0,y0,t0f(t)是连222、设f(t)2，若xyxy2t20t0续可微的函数，求f(t)。

高等数学II（B卷）

一、 单项选择题（每小题分，共20分）

2x2y2z216222xzy0y1．母线平行于轴且通过曲线的柱面方程为

（ ）

3x22z2163x22z21622222y0xzy0A、B、3x2z16C、D、

x22y216。

2

（ ）

．

下

n述级数不

1n收敛

n(n1)2的

n1为

1(1)ln(1)n B、 A、 n112(1cos)n n1nn1nC、

(1)n1n10n7n1D、

3．

( )

下

述幂级数的收敛域为

(1,1)的有

1(12 A、 n11nln(1)x2nn11n1n)xxnn ； B、n1； C、 1nx2nn1； D、

zln(x2y2z2)dxdydz2222224．设为xyz1,则三重积分xyz1值是 ( )

4A、0 B、 C、3 D、2

22225．设为球面xyza的内侧(a0),为所围空间闭域,则按高斯公式曲面积分

333xdydzydxdzzdxdy可表示为

( ) A、

C、

3a2dxdydz B、

3a2dxdydz

3r2r2sindrdd D、

3r2r2sindrdd 二、填空题（每小题4分，共20分）

6．若向量x与a2ij2k共线,且满足ax18,则x= . ze 7．曲面zxy3在点(2,1,0)处的法线方程为 ．

2228．若函数f(x,y,z)x2y3zxy3x26z，则gradf(1,1,1)

xaydxydy为某函数的全微分，则a ．

2222xyxydyxydx21,(a0)2aa 10．L ．其中L是圆的正向． 9．已知

三、计算题（每小题10分，共60分）

zz,xy11．设 esin(xz)0 计算 xy,

222zz(x,y)x6xy10y2yzz180确定的函数,求 12. 设 是由

zz(x,y)的极值,

xy2

x13．计算二重积分0

I(x2y2)dxdydz22zxy14.计算三重积分 ．其中由锥面与平面z1所围成的区域

(x2y2)dS2215．设是锥面zxy,(0z1),计算 

1dxeydy12

222222xyzxyz4,(z0)的上侧． 16．计算,其中是球面

高等数学II(A卷)

yzdxdz2dxdy二、 单项选择题（每小题4分，共16分）

31．将zox坐标面上曲线z5x绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 （ ）

A、z5xy； B、z5xy； C、z625x2y2.

2．有关二元函数f(x,y)的下面四条性质：

322322z2y225x23； D、

f(x,y),f(x,y) (1) f(x,y)在点(x0,y0)可微分； (2)x00y00存在；

f(x,y),fy(x,y) (3) f(x,y)在点(x0,y0)连续； (4) x在点(x0,y0)连续.

若用\"PQ\"表示可由性质P推出性质Q，则下列四个选项中正确的是 ( )

A、(4)(1)(2)； B、(1)(4)(3)； C、(1)(2)(3)； D、

(2)(1)(3).

3．设积分区域( )

A、

Dx,yx1,y112,则下式中正确的是

xeD2eDx2y2(xy)dxdy4xexdx02y2(xy)dxdy0；

； B、

2C、

xeDy21x2(xy)dxdy4xedx0x2； D、

eDx2y21(xy)dxdy8xedx0.

22:zxy4．有向曲面在第II卦限的右侧、也是此曲面在第II卦限的

( )

A、前侧 ； B、后侧 ； C、左侧 ； D、不能确定.

二、填空题（每小题4分，共20分）

2uu4422uxy4xyxy 5．设函数，则x ， ． ze 6．曲面zxy3在点(2,1,0)处的切平面方程为 ．

22z2x2y3xyaxbyc在点(2,3)处取得极值，则a 7．若函数

, 点

(2,3)是此函数的极 (大、小)值点． 8．设

xbnsinnx(0x)n1,则b2 .

22xy(ye)dx(3xe)dy212ab 9．L ．其中L是正向椭圆．

三、计算题（每小题8分，共64分）

xy22uln(xyz),曲线10．已知函数

xt:yt2zt3.求(1) 曲线在点(1,1,1)处

切线方向的单位向量(沿t增加方向);

22uln(xyz)在点(1,0,0)处沿(1)所指方向的方向导数． (2) 函数

zz,xyesin(xz)011. 设方程 确定隐函数zz(x,y), 计算 xy.

cosx66dydx0yx12．计算二重积分.

Izdxdydz22zxy13．计算三重积分 ．其中是由锥面与平面z1所

围成的区域.

x2y2z2a2(x2y2)ds 14．设是曲线xyz0,计算 ．

322xdydz2xzdzdx3ydxdy22z4xy15．计算，∑为抛物面位于平面z0上方部分的下侧.

1xn116．已知幂级数n1n(n1)，求 (1) 此级数的收敛域; (2) 此级数收敛域内的

和函数;

1n1n(n1)2n1 (3) 级数的值. 1lim4f(x2y2z2)dxdydzt0t17．设f(u)具有连续的导数，且 存在， 其中：

x2y2z2t2。

1t0t4f(0)计算 (1) ; (2)

limf(x2y2z2)dxdydz.

高数II试题

一、选择题（每题4分，共16分）

xy22 xy022f(x,y)xy220 xy0在(0, 0)点 . 1．函数

(A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；

(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。

zfzf(xyz,xyz)x2．设为可微函数，，则 。

f1yzf21f1xyf2f1yzf2 (A)f1xyf21． (B)．f1yzf2； (C)． 1f1xyf2；

(D)．

f1xzf2f1yzf2。

22D:xy24f(x,y) 3．设在上连续，则二重积分Df(x,y)d表示成

极坐标系下的二次积分的形式为 。 (A)． 0(C)． 0 2df(rcos,rsin)rdr 0 4cos2； (B)． 0；(D)． 0 df(rcos,rsin)rdr 0 4sin 2；

d 0f(rcos,rsin)rdrnd 0f(rcos,rsin)rdrn。

4．幂级数n0在x3处条件收敛，则幂级数n0为 。

(A)．3； (B)．4；(C)．1； (D)．5。

a(x1)naxn的收敛半径

二、填空题（每题4分，共20分）

yy1．设函数zx，则函数zx的全微分 。

222uxyz2．函数在点P0(1,1,1)处沿OP0方向的方向导数为 ，其中O

为坐标原点。

3．曲面2zxy3e在点（1，2，0）处的切平面方程为 。 4．曲线积分

zIxL222y2ds（其中L是圆周：xy9）的值为 。

x,0x1f(x)bnsinnxbnsinnx1,1x5． 设的正弦级数展开式为n1，设n1和函

数为s(x)，则

s(7) , s(5) . 三、计算题（每题7分，共21分）

x1．求方程y3y2y3xe的通解。

2．交换二次积分

3．计算曲面积分

10dx2xxfx,ydydx14xx2fx,ydy的积分顺序。

zds22zxy0z4。 ，其中为锥面

z2z,22zf(xy,xy)xxy。 f四（9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求

A五、（10分）确定a的值，使曲线积分

路径无关，

并求A,B分别为0,0，1,2时曲线积分的值。

IBx44xyadx6xa1y25y4dy与

六、（10分）化三重积分

七、（10分）求

222(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyIf(x,y,z)dxdydz为柱面坐标及球面坐标系

2222z1xyzxy下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域。

，其中∑为锥面

zx2y2(0zh)的外侧。

limf(x)0x，

八、（4分）设f(x)在点x0的某一邻域内具有二阶连续导数，且x0证明级数 1f()n绝对收敛。n1

高等数学II（A卷）096

一、 单项选择题（每小题4分，共16分）．

x*y3y2yey1． 微分方程，其特解设法正确的是 （ ）． *x*x*x*2xyAeyAxeyAxBeyAxe （A）； （B）； （C）； （D）2222：xyzR，z02． 设空间区域；

1：x2y2z2R2，x0，y0，z0，

则 ( ) ．

（A）

（C）

xdxdydz4xdxdydz1； （B）； （D）

ydxdydz4ydxdydz11；

zdxdydz4zdxdydz1xyzdxdydz4xyzdxdydz(0,)23．设an0 (n1,2,......)，且n1(1)n(ntan)a2nnn1（ ）．

an收敛，，则级数

（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性与有关。

f(0,0)1,fy(0,0)24． 设二元函数f(x,y)满足x，则（ ）．

df(x,y)|(0,0)dx2dy （A）f(x,y)在点(0,0)连续； （B）；

f|(0,0)cos2cos（C）l，其中cos,cos为l的方向余弦； （D）f(x,y)在点(0,0)沿x轴负方向的方向导数为1．

二、 填空题（每小题4分，共16分）．

f(x,y)x(y1)arcsin5. 设函数

xy，则fx(x,1)= ．

2222zxyxy1所割下部分的面积为 ． 6. 曲面被柱面

2f(x)x(0x1)，而7. 设

S(x)bnsinnx (x)n1，其中

bn2f(x)sinnxdx n1,2,......,011S()2 ，则

S(9) ．

(x2)n28. 幂级数n1n的收敛域为 ．

三、 解答下列各题（每小题7分，共28分）．

设zz(x,y)是由方程F(xy,z2x)0确定的隐函数，F(u,v)可微,计算zzxyxy． 在曲面zxy上求一点，使该点处的法线垂直于平面x3yz90． 9. 将函数

f(x)1x23x2展开为x的幂级数．

22z43(xy)及，是由曲面

10. 计算

Izdxdydzzx2y2所围成的闭区域．

四、 解答下列各题（每小题10分，共30分）

11. （10分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)0,f(0)1，曲线积分

2[xy(xy)yf(x)]dx[f(x)xy]dyL与路径无关．求f(x)．

xdyydx222L4x2y2(x1)yR (R1)12. （10分）计算积分，其中L为圆周（按

逆时针方向）．

13. （10分）计算

Iydydzxdzdxz2dxdy，其中22zxy为锥面被

z1,z2所截部分的外侧．

五、 综合题（每小题5分，共10分）

2222222x2yz1f(x,y,z)xyz14. 在椭球面上求一点，使函数在该

点沿方向l(1,1,0)的方向导数最大，并求出最大值．

证明：设{Un}是单调递增的有界正数列，判断级数n1证明你的结论．

(1Un)Un1是否收敛，并

高等数学I

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

x,x1. 当xx0时，都是无穷小，则当xx0时（ ）不一定

是无穷小.

xx (A) (C)

22x x(B)

2(x)(D) (x)

ln1(x)(x)

1xasinxlimxasina2. 极限

的值是（ ）.

cotatanaee（C） （D）

（A） 1 （B） e

sinxe2ax1x0f(x)xax0在x0处连续，则a =（ ）. 3.

（C） e （D） 1

f(ah)f(a2h)limf(x)h0h4. 设在点xa处可导，那么（ ）. （A） 3f(a) （B） 2f(a)

1f(a)f(a)(C) （D） 3

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

ln(xa)lnalim(a0)x0x5. 极限的值是 . （A） 1

（B） 0

6. 由

exyylnxcos2x确定函数y(x)，则导函数

y .

7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行，则直

线l的方程为 .

2y2xln(4x)求函数

2007－2008学年第(1)学期考试试卷

高等数学II（A卷 重修）

一、填空题 （每小题4分，共20分）

14422uxy4xy,则. 设

2ux20,0=

2zxx0y00和

zyx0y00

是可微函数

zzxy在点x0y0

处取得 (充分、必要、充要）条件.

3 曲线

为:

4x2t2ycostz2lnt在对应于t2点处的切线方程

周期为

2的函数

fx，它在一个周期内的表达式为

,设它的傅里叶级数的和函数为

fx1x010xsx,

则S(0)= .

5d2ydy2y02dxdx微分方程的通解为 .

yx求

二、计算题 （每小题8分，共40分）

1zlntan设

dz

2222 求函数 uxyz 在球面 xyz1 上点 001 处，沿

球面在该点的外法线方向的方向导数。

3交换积分次序 

21dx2xx22xfxydy

。

22xy最xyxya4 将已知正数分成两个正数 之和，问：为何值时使

大？

dy2xy4x5 求微分方程 dx 的通解。

三、计算三重积分

xydV22xy1 与平面 ，其中是由柱面

z1z0y0，x=0所围成的第一卦限内的区域。 （9分）

四、计算（9分）

xdydzydzdxzdxdyxyz2223，其中

为球面

x2y2z2a2 的外侧。

1y1,2x(dxlnxdy)yxx五、计算曲线积分L，其中L：自点A＝2沿曲线

12,2的一段有向曲线弧（9分） 到点B＝y

六、求级数

1n1n1xnn 的收敛域与和函数。（9分）

2tx(xy1)21limdxedyt0t2tt七、 求极限 （4分）

高等数学下C（07）

一、填空题（每小题3分，共计15分）

 z(xyz)zf(x,y)xyze1．设由方程确定，则 x= 。

23uxyzxyz在点P0(0,1,2)沿方向l(1, 2, 1)的方向导2．函数 u数 lP0= 。

22e3．L为圆周xy1，计算对弧长的曲线积分Lx2y2ds= 。

22z1xy4．已知曲面上点P处的切平面平行于平面

2x2yz10，则点P的坐标是 。

5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]的定义为

2f(x)2x1．设

1x00x1，则f(x)的傅里叶级数在x2收敛于 。

二、解答下列各题（每小题7分，共35分）

f(x, y)在积分区域上连续，交换二次积分1I0dy3y2f(x,y)dx11y的积分顺序。

2．计算二重积分D成的在第一象限内的区域。

(x2y2)dxdy22yxy1所围，其中D是由轴及圆周

2222z4xyzxy3．设是由球面与锥面围成，求三重积

If(x2y2z2)dxdydz分在柱坐标系下的三次积分表达式。

4．设对任意x0，曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距

1x0f(t)dt等于x，求f(x)的一般表达式。

xy2yex。 5．求解微分方程

xdydzydzdx(xz)dxdy三、(10分)计算曲面积分，其中∑是平面

2x2yz2在第一挂限部分的下侧。

四、(10分)应用三重积分计算由平面x0,y0,z0及z2xy2所围成的

四面体的体积。

4422zxyx2xyy五、(10分)求函数的极值。

22D:xy2x的正向边界，计算曲线积分六、(10分)设L是圆域

33L(xy)dx(xy)dy。

(x1)nn的收敛区间与和函数。 七、(10分)求幂级数n1高等数学上B（07）试题

填空题：（共24分，每小题4分） dy2ysin[sin(x)]dx1．，则____________________________。

adx1x22． 已知，a=__________。 3． 一、

e1elnxdx____________。

xye4． 过原点的切线方程为_______________。

f'(lnx)dxxf(x)ex5．已知，则= 。 32yaxbx(1,3)ab6． ， 时，点是曲线的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

cosxsinlnxdx1．求y(sinx)的导数。 2．求。

x5x21dx3．求。

xx0e,f(x)kx0在点(0,0)处可导，则k为何值？ x1,4．设

111lim()222222nn1n2nn。 5．求极限

x2yz102xyz0xyz10(2,2,0)6．求过点且与两直线和xyz0平行的平面

方程。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

xRcostd2y21．设yRsint，求dx。

x在[1,2]上的最大值和最小值。

22x(1y)ln(x2y)0确定，求y'(0)。 yy(x)3．设由方程

22yxy4．求由与x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。 2．求

0F(x)t(t1)dt四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线xy1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为一常数。

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点使得

f()g(x)dxg()f(x)dxab

成绩 高等数学试卷

试卷号：B020002

校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________

（请考生注意：本试卷共 页）

大题 成绩 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、

ex1设Ixdx,则Ie1(A)　ln(ex1)c　　(B)　ln(ex1)c;(C)　2ln(ex1)xc;(D)　x2ln(ex1)c. 2、

答( )

nlimeee1n2nn1ne(A)1　(B)e　(C)e　(D)e23、

　　　　　　　　　　答（　　）

1的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)(　　)(式中01)1x(1)n1n1n1(A)　x　　　(B)　x(n1)(1x)n1(n1)(1x)n1f(x)(1)n1n1(C)　x　　　　　(D)　　xn1n2n2(1x)(1x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)4、

设f(x)在x0的某邻域内连续,且f(0)0,limf(x)2 , 则点x0x01cosx(A)　是f(x)的极大值点　　　　　(B)　是f(x)的极小值点(C)　不是f(x)的驻点　　　　　　(D)　是f(x)的驻点但不是极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)

5、

曲线yx22x4上点M0(0,4)处的切线M0T与曲线y22(x1)所围成的平面图形的面积A214913(A)　　　　(B)　　　(C)　　　(D)　49412

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

答( )

1设　yln1tan(x)，则y＿＿＿＿x1、

2

、

用切线法求方程x32x25x10在(1，0)内的近似根时,选x0并相应求得下一个近似值x1  则x0，x1分别为__________________ 

x1y1z112与x1y1z相交于一点，3、设空间两直线则 。

sinxe2ax1，当x0f(x) , 在x0处连续，则a___________ .xa　　　　　，当x04、

5、 0三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

 bxdx_________________，其中b是实数．

bij4kc2i6jka3ij设平面与两个向量和平行，证明：向量

与平面垂直。

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

讨论积分10五、解答下列各题

dx的敛散性．px

( 本 大 题11分 )

导出计算积分In六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

dxxnx12的递推公式,其中n为自然数。

x2yz50l1:z100求过P0(4,2,3)与平面:xyz100平行且与直线垂

直的直线方程。

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

计算极限lim八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

e1x01xsinxcos2xxtanx

e试求In(lnx)dx的递推公式(n为自然数)，并计算积分(lnx)3dx．1n九、解答下列各题

( 本 大 题8分 ) 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

xx0

设f(x)在(a,b)内可微,但无界，试证明f(x)在(a,b)内无界。

设lim(x)u0，limf(u)f(u0) , 证明：limf(x)f(u0)uu0xx0。

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高

124,cos135，求A,B重量为p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上，如图。设所受的拉力f1,f2。

cosAOBp十三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

　　一质点,沿抛物线yx(10x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为xtt(t的单位是秒,x的单位是米),求该质点的纵坐标在点M(8，6)处的变化速率．十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

设曲线xy,x2y2及y0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

成绩 高等数学试卷

试卷号：B020009

校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________

（请考生注意：本试卷共 页）

大题 成绩 一 二 三 四 五 六 七 八 九

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

x极限lim(1)x　　(a0，b0)的值为x0a1、

b2、

x0bbe(A)1．　(B)ln　(C)ea．　(D)aa　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

blim(1cosx)3cosxA．e3　　B．8　　C．1　　D．3、

　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

　　设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)f(b)(Ⅱ)在(a,b)内f(x)0则：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)4、

若x0，f(x0)为连续曲线,yf(x)上的凹弧与凸弧分界点,则(　　)(A)　(x0，f(x0))必为曲线的拐点(B)　(x0，f(x0))必定为曲线的驻点(C)　x0为f(x)的极值点(D)　x0必定不是f(x)的极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)5、

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度,rr为杆上一点到O点的距离,角速度为,则总动能1111(A)　2L2　　(B)　2L2　　(C)　2L2　　(D)　2L22345

答( )

(3x1、2、

23)dxx0_______________.

设f(x)t(t1)dt，则f(x)的单调减少的区间是__________3、对于的值，讨论级数n1（1）当时，级数收敛 （2）当时，级数发散 三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分) 2、(本小题4分)

级数

(nn1)

验证f(x)x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性

nn12 n1是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)

1n1010n

3x,22时，fxx。又设Sx是fx设fx是以2为周期的函数，当

的

以2为周期的Fourier级数之和函数。试写出Sx在,内的表达式。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

2、(本小题2分)

x312x16求极限　lim3x22x9x212x4

求(ex1)3exdx.

3、(本小题4分)

求2 14、(本小题7分)

5、(本小题8分)

x21dx．x

求x dx. 试将函数

五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

y1x2在点x00处展开成泰勒级数。

如果幂级数n0在x2处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少 试证之. 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

anxn如图要围成三间长都为 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为a,问x,y各等于多少时 , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题9分) 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

求由曲线ye2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

xchx，x0，设　f(x),试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f(x)ln(1x)，x0

计算limx0九、解答下列各题

( 本 大 题12分 )

b(ab)dt，(a0，b.0)．ln(1t)dt

02x0tt设函数f(x)在a，b上有连续导数(a0)，又设xrcos，f(x)rsin．试证明：2f(x)dxr2()dbf(b)af(a) ,a其中arctanf(a)f(b)，arctan．ab

高等数学第一学期半期试题（06）

一、

一、 填空

1.

的连续点。 2．

cosx,x0x2f(x)(a0)aax,x0x1. 设当a= 时，x=0是f(x)

dydx＝ 。

设方程xyarctany0确定了yy(x),求lim1acos2xbcos4xx43． x0 ＝A，则a= ，b= ， A= 。 xyx24．函数的极小值点为 。

5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)= 。 fxf06.设lim1,2x0x则f(x)在x=0取得 （填极大值或极小值）。

1x1x0函数f(x)x0,x0 是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。 二、

三、 1．

x0三、 解下列各题

2x12x1limx2设曲线方程为3．

2．； xt2sintytcost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及

xlimx2(3x311x2)d2yx2dx2。

四、 四、 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在

x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。

五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角

形。 六、

,e. 六、 证明不等式：

七、

八、 八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)R ，存在(0,)，使得f’()-[f()-]=1 高等数学第二期半期考试试题 一、解答下列各题（每题６分）

1. 1. 利用二重积分求不等式r≤2cos, r≤1所表达的区域的面积。

x2. 2. 设z=(1+xy) ,求dz

2limnf.nn 七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限

0P1方向的方向导数。其中P1的坐标为3. 3. 求函数 u=e 在点P0(1,0,-1)沿P(2,1,-1).

xyz02yx4. 4. 设u=f (x,y,z),而(x，e，z)=0，y=simx 其中f , 具有一阶连续偏导数，且

du求dx。

2zzzxetdt确定，求,xy0xy5. 5. 设z=z(x , y)由。

x1y1z22226. 6. 求曲面x+4y-z+5=0 垂直于直线的切平面方程。

二、（每题８分） 1. 1. 计算二重积分

xydxdyD323dxsinydyx1 其中Ｄ：x2+y2≤1。

2. 2. 计算二次积分1三、（每题８分）

。

1. 1. 求yyxsinx的一个特解。

dy1232. 2. 求微分方程dxxyxy的通解。

四、（８分）利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离。

xt2ytz3t31222ux2y3z五、（１０分）求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方

向的方向导数。

R2yRR2y2x20eydyexdx022R2eydy2e0dx

六、（８分）利用极坐标计算

f(0)2,求极限lim七、(６分)设f(u)为可微函数，f(0)=0。

122fxydxdyt0t3x2y2t2

第一学期高等数学试题(一)

2fx2x2x3，求 fx2。

一、 一、 1.［5分］ 设

x33x2lim42.［5分］ 求x1x4x3

lim3.［5分］ 讨论极限 4.［5分］ 函数

sinxx

x0ysinarcsinx 与函数 y = x 是否表示同一函数，并说明理由。

an二、 二、 1.［6分］ 讨论数列

nn12n16n12,n1,2,当 n时的极限。

sinxx0fxx1x0在 x = 0 处的可导性。 2.［6分］ 讨论函数

xetd2yt2yte3．［6分］ 设求 dx 。

4.［6分］ 求曲线 yx1x2 的凹凸区间。

2三、 三、

sin1.［8分］ 求 2x3xsin2xdx 。

x3dx3x2.［8分］ 求 。

2xcosxdx03.［8分］ 计算

 。

4.［8分］ 求 02xxedx 。

四、 四、 ［8分］ 设

fx2x1x0x2试讨论f (x) 的单调性和有界性。

2yx,五、 五、 ［8分］ 求曲线

yx1及 x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转

体的体积 V 。

六、 六、 ［8分］ A ，B 两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相

距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂到B厂的每公里水管材料费是A厂的5倍，问水厂C设在离A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费为最省。

第一期高数试题(二)

一、一、试解下列各题：(每题7分)

1x(x1),求f.x1f(x)1 1. 1. 设

1cosaxa0lim2x0x2. 2. 求

f(x)3. 3. 求

xlimx3ln12x

4. 4. 求 二、二、试解下列各题：(每题5分)

25cosxsinxdxyarctan(x32)ln1. 1. 设。

2. 2. 设函数f (x)在[0,1]上可导，且y=f (sin2x)+f (cos2x),求 dy/dx . 3. 3. 求由方程x2+2xy-y2=2x所确定的隐函数y=y(x)的导数。

x1x1x1,求y

4. 4. 确定y=x-ln(1+x2)的单调区间。

dx225. 5. 计算1x1x

三、三、试解下列各题：(每题6分)

31limx21cosxx 1. 1. 求

xe2td2y求2tdx

2. 2. 设yte3. 3. 对函数f (x) = sin(x)在区间[0,π/2]上验证拉格朗日中值定理的正确性。 4. 4.

求xlnx1lnxdx

四、[7分] 证明：

五、[8分] 以半径为R的球的直径为轴线钻一个半径为a ( 0< a < R )的圆柱形孔，求所剩部分的体积。

六、[8分] 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点( 1， -1 )处有拐点，且在x = 0处有极大值为1，并求此函数的极小值。

sinxdxexx2112e02-03第一期期末高等数学试卷

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计75分) 1、(本小题4分)

求极限　　lim2、(本小题4分) 3、(本小题4分)

tanxtan2.x2sinln(x1)

求(ex1)3exdx.4、(本小题4分)

100x210x1求极限lim3．2xx01.x0.01x0.001

2设yx3x0sin2tdt，求y．

5、(本小题4分)

6、(本小题5分)

2xx1，x1；设f(x)求f(1a)f(1a)，其中a0．22xx，x1

7、(本小题5分) 8、(本小题5分)

x21求极限lim．x－1lnx

设　　y(3x1)ln(3x1)，求y

12求x31x2 0dx．

9、(本小题5分)

设　y(x)x3e2x，求dy10、(本小题5分)

x1．

　　求由方程x11、(本小题5分)

23ya3(常数a0)确定的隐函数

21221232yy(x)的微分dy．　　设yy(x)由x(1s)和y(1s)2所确定,试求dy．dxxyx12、(本小题5分)

设yy(x)由方程ye13、(本小题5分) 14、(本小题5分)

所确定,求y

若x0,证明x2ln(1x)22x

16求dx 1415、(本小题5分)

xx dx．求2 1x4x2．

16、(本小题5分)

求二、解答下列各题

(本大题共3小题，总计15分) 1、(本小题5分) 2、(本小题5分) 3、(本小题5分)

dx.2(x1)(x1)

要做一个圆锥形漏斗,其母线长20cm,要使其体积最大,问其高应为多少?

求曲线y2x2与yx所围成的平面图形的面积.

三、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

求曲线yx2和yx3在0,1上所围成的平面图形的面积.

四、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

证明方程x57x4在区间(1，2)内至少有一个实根．

判定曲线y(x3)x在0，上的凹凸性

02-03第一学期期末高等数学试卷B

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)

x312x16求极限　lim3x22x9x212x4

2、(本小题5分)

求3、(本小题5分)

xxdx.(1x2)2

1x

求极限limarctanxarcsin4、(本小题5分)

求5、(本小题5分)

xdx.1x

d求dxx201t2dt．

6、(本小题5分) 7、(本小题5分)

求cot6xcsc4xdx.

求218、(本小题5分)

11cosdx．2xx

9、(本小题5分)

30t2dyxecost设确定了函数yy(x),求．2tdxyesint

求x1xdx．10、(本小题5分) 11、(本小题5分)

求函数　y42xx2的单调区间

20求12、(本小题5分) 13、(本小题5分)

sinxdx．8sin2x

设　x(t)ekt(3cost4sint)，求dx．

设函数yy(x)由方程y2lny2x6所确定,求14、(本小题5分) 15、(本小题5分)

dy．dx

求函数y2exex的极值

16、(本小题5分)

(x1)2(2x1)2(3x1)2(10x1)2求极限limx(10x1)(11x1)

求cos2xdx.1sinxcosx

第二学期高等数学重修试题(一)

七、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)

1. 设

zx23y2,x3t,ysint,求cosydzdt。

2. 设zlnx22求:d z。

2zxyz4z,求2x。 3. 设

24. 设

ufx5y,xyz求uxx。

5．exyz0,求　dz。

八、 二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)

Z1．更换积分次序：2的方向导数。

dxfx,ydyx212x。

3uxyzxyz在点P（1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○角的方向上2. 求

3. 求曲线

4. 求曲面x 2 － 2 y 2 +2z 2 = 1上过点P（1,1,1）的切平面方程。

三、计算下列积分（每小题6分，共30分） 1. 2.

xt1t,y,zt21tt在t = 1处的切线及法平面方程。

xydxdyDVD：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成 。 V：1≤x≤2 , -2≤y≤1 , 0≤z≤1/2 .

xydxdydz(1,2)3. (0,0)4.

xdxydy 。

∑：x+y+z = 1 第一卦限部分。

2

2

xyzds5.  ∑：是柱面x + y = 1被平面z=0,z=3所截得的在

第一卦限的部分的前侧。 四、（8分）求微分方程xyylny的通解。 五、（8分）求微分方程y4y3y0;y06,y010的特解。

zdxdyxdydzydzdx

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