1．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD=1，D1D=λ（λ＞0），若棱C1C上存在唯一的一点P满足A1P⊥PB，求实数λ的值．
2．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，
AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求
的值，如果不存
，AP=4AF．
1
在，请说明理由．
2
高二理科数学第四周周三静校测试答案
1.解：如图，以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，λ）， 设P（0，1，x），其中x∈[0，λ]， 因为A1P⊥PB， 所以
2
，即（﹣1，1，x﹣λ）•（﹣1，0，x）=0，
化简得x﹣λx+1=0，x∈[0，λ]，
由点P（0，1，x）的唯一性知方程x﹣λx+1=0只有唯一解， 所以，判别式△=λ﹣4=0，且λ＞0， 解得λ=2．
2．（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O， 所以O为AC，BD中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分）
又因为PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） 所以PO⊥底面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD， 又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz． 由△PAC是边长为2的等边三角形，可得所
．
以
．﹣﹣﹣﹣（5分）
所以由已知可得
，
．
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
，
2
2
设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则
令x=1，则，所以=（1，0，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
3
因为cos=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，
所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） （Ⅲ）解：设
=λ（0≤λ≤1），则
﹣﹣﹣﹣﹣（11分） 若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，﹣﹣﹣（12分）
解得
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
所以在线段PB上存在一点M，使得CM∥平面BDF． 此时=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
．﹣
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