数学专项练习

武汉市堤角中学九年级数学备课组 洪新兵

一、地位与分值

相似是中考的必考知识点，是检验学生能力的一个标志性知识点，在近几年的武汉市调考和中考中，占有相当重要的地位。相似经常出现在第19题、第22、24、25题，涉及的分值一般在15分左右。

二、内容及试题的呈现形式

考查相似主要考查相似三角形的判定和性质的应用。在第19题经常考查相似三角形的判定；在第22、24、25题则经常把相似作为解题的重要工具来运用。

三、考点分析、方向预测、教学措施、注意事项

（一）第19题分析

（1）试题变化

近两年来，第19题经历了由全等三角形的实际应用到相似三角形的判定的变迁。例如： （2008年4月调考题）如图1，AB、CD相交于O点，AC∥BD，求证：△OAC∽△OBD （2008年5月调考题）如图2，EF在 ABCD的边AB的延长线上，且EF=AB，DE、 CB交于点M，求证：△BME∽△BCF

（2008年中考题）如图3，D、E在BC上，DF∥AB，EF∥AC，DF与EF相交于F点， 求证：△ABC∽△FDE

DOBDCA ACAFBCBEDE 图1 图2 图3 这三道题，都是考查三角形相似的判定，而且是判定方法中最简单的两角证相似的方法。在教学中应当重点培养学生根据平行条件得出同位角或内错角相等的条件以及经常运用的证明角相等的方法。

（2）方向预测

我个人认为，今年第19题有以下几种考查方向：

①基本的相似三角形的判定，还是以两角证相似为主，在证明角相等的难度上有所加深； ②全等三角形的简单运用，如证明线段相等、角相等；

③相似的简单运用，如证明角相等、线段的比例式、乘积式、面积比等； ④相似的实际应用

（3）教学措施

可以发现，每一年从4月调考到中考，第19题的题型和考查的知识点非常接近，因此，我认为，在教学中应当重点关注：

①4月调考和5月调考的题型，由调考的题型基本上就可以确定中考第19题的题型了；

MF1

②从4月调考到5月调考的题型和知识点的变化情况； ③4月调考和5月调考学生在第19题的普遍得失分情况。 （4）注意事项

①要求学生答题要规范，证明过程要详尽； ②角度要标注，书写要清楚； ③先写比例式再写乘积式。 （5）变式训练（见补充练习）

（二）第22、24、25题中相似的考点分析

（1）考点分析

在第22、24、25题中，经常把相似作为解题的重要工具。由于这些考点的综合性比较强，种类繁多，与其它知识的联系比较紧密。其中，相似的运用比较灵活，因此，不好把握。 但相似的运用归纳起来，不外乎两种：一是寻找图中的相似三角形，并运用相似解决问题； 二是根据条件和结论构造相似，并运用构造的相似解决问题。

我个人预测，今年中考的第22题第二问、第25题第二问或第三问需要综合运用相似和其它知识进行解题的可能性较大。不论是寻找图中的相似三角形还是根据条件和结论构造相似，我认为熟练掌握和运用相似的基本图形非常重要。我把相似的基本图形分成以下几种类型： 第一类：“A字型”或“X型” 如下列图形：

“A字型” “X型” “双A字型” 第二类：“子母三角形” 如下列图形：

A

D B

AAADDCBCBCDB △ABC与△ACD △ABC与△DAC、△DBA △ABC与△ADB △ABC与△ACD

A AA ADDED EEE

CCCB DBCABC与ADEB ABC与DECBABC与AED ABC与AED第三类：“站着一个，睡着一个” 如下列图形：

2

C

第四类：“八字型”或“蝴蝶型” 如右图：

第五类：旋转类相似（经常与四点共圆有关）如下列图形：

（2）例题选讲

例1（2008年武汉市4月调考题）如图，⊙O1、⊙O2外离，O1C是∠AO1B的角平分线，O1C经过点O2，O1A切⊙O2于点E，交⊙O1于G。⑴求证：O1B是⊙O2的切线；

⑵过点O2作的切线O2D（D为切点）交⊙O2于点F,判断GF与O1O2的位置关系并证明。

A分析：解答此题第2问的关键是发现图中相似三角形的 基本型“八字型”和“A字型”，找出两对相似三角形

（△DO1M∽△EO2M、△MGF∽△MO1O2） 从而解决了问题。

例2（2007年武汉市4月调考题改编）已知二次函数yax5ax4a的图象交x轴于A、B两点（点A在B的右边），与y轴的负半轴交于C点，过C点作x轴的平行线交抛物线于D点，DE⊥x轴于E点，S四CDEO=5 （1） 求二次函数的解析式。 （2） 如图，直线y1kxk(k0)与x轴、y轴分别 DyMGHxAOFN2DGO1EMFO2CByEBAOCx交于点F、H，点G在y轴上，且OH=HG，连BG、AH分别与 FH、FG相交于点M、N，则①∠GMN=∠MFB，②∠GMN=∠GFM， 请你选择正确的结论加以证明。

第2问分析：由（1）知F、H、G三点的坐标，得出：OH2=OA·OF， OG2=OB·OF，从而利用“子母三角形”证明∠AHF=∠MGN=90° B因此，M、G、N、H四点共圆，所以，∠GMN=∠GHN=∠AHO=∠MFB 3

例3、（2008年武汉市4月调考题）在平面直角坐标系中，抛物线yax2axb与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于C点，且A（－4，0）,OC=2OB。 ⑴求此抛物线的解析式。

⑵如图1，作矩形ABDE，使DE经过点C，点P是AB边上一动点，连接PE，作PH⊥PE，交BD于点H，设线段PB的长为x，线段BH的长为函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

⑶如图2，在⑴的抛物线中，点T为其顶点，L为抛物线上的一动点（不与T重合），取点N（－1，0），作MN⊥LN且MN=

23122y，当P点运动时，求y与x之间的

LN（点M、N、L按逆时针顺序）当点L在抛物线上

运动时，直线AM、TL是否存在某种确定的位置关系？若存在，写出并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

yyECTLCDHANOBxAPOBxMF第2问分析：根据已知条件，找出图中“站着一个，睡着一个”的基本相似三角形—— △AEP∽△BPH，得出比例式

4x6x12y，从而列出函数关系式：y12x23x

（0≤x≤6）

第3问分析：通过构造旋转类相似三角形——△LNT∽△AMN，得出∠MAN＝∠NTL， 从而∠F＋∠NTL=∠F＋∠MAN=90°，所以LT⊥AM。

实际上，若延长TL、MA交于G，要证明LT⊥AM，则G、M、N、L四点共圆，因此，构造旋转类相似三角形就顺理成章了。

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