浅析初等数学问题中的分类讨论思想

浅析初等数学问题【ｌ】昀分类讨论思想　安徽省合肥市庐江县第三中学姚轶群　［摘要］初等数学中的分类讨论思想是一种重要的思想方法和解题策略，学生在解题时分类讨论的意识不强，它是数学问题教学中　的一个难点，也是数学教学中研究的重点之一。本文从初等数学中引起分类讨论的原因和分类讨论思想在不同教学内容中的运用两　个方面初步揭示初等数学分类讨论思想的本质，逐步引导学生建立分类讨论的思想，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解　决相应的数学问题，形成能力。　［关键词］分类讨论思想　建立　运用　渗透　培养思维　一、引言　在解答数学问题时，往往会遇到这种情况——不能对问题所给的　对象进行统一研究。这时就需要对研究对象按某个标准分类，然后对　每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题　的解答，这就是所谓的分类讨论思想。这种思想是解决问题的一种逻　辑方法，也是数学教学中的一种重要的思想方法和解题策略，是一种重　例１：一种节能灯的功率为１０瓦（即０．Ｏ１千瓦），售价为６０元；一种　白炽灯的功率为６０瓦（即０．０６千瓦），售价为３元。两种灯的照明效果　样，使用寿命也相同（３ｏｏｏｄ，时以上）。如果电费价格为０．５元，（千瓦．　时），消费者选用哪种灯可以节省费用？　分析：设照明时间是ｘｄ，时，节能灯的费用用ｙｌ元表示，白炽灯的费　用用ｙ２元表示，则有：Ｙ，＝６０＋０．５×０．０１ｘ：ｙ２＝３＋Ｏ．５×０．０６ｘ。　一要的数学能力。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方　法。它与新课程改革中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致　的，它培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，对养成　学生严谨的思维品质有较大益处。分类讨论的基本要求是不重复、不　遗漏。但由于受年龄以及思维方式等因素的影响，导致学生思维的单　一性倾向较明显，分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类，或　者知道了要分类讨论却不知如何分类或讨论不全。这就要求教师从整　体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行分类思想的教　学。本文从初等数学中引起分类讨论的原因和分类讨论思想在不同教　学内容中的运用两个方面初步揭示初等数学分类讨论思想的本质，逐　步引导学生建立分类讨论的思想，使学生能够自觉合理的运用分类讨　论的思想解决相应的数学问题，形成能力。　二、初等数学中引起分类讨论的原因　初等数学中有许多问题需要讨论，由于问题的不同引起讨论的原　因各式各样。常见的有：　（一）由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念是分类给出的，解　答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。例如：化简ｌａｌ一５，解答此　题，是按ａ的取值分类讨论，即：按当ａ＞０，ａ＝０，ａ＜０三种情况分别解　答。更复杂一些如化简：Ｉｘ＋２１一Ｉｘ一１ｌ，按ｘ的取值范围分别为ｘ≤一２，一２＜　ｘ＜１和ｘ≥１三种情况讨论。　（二）由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论：问题中　涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者　是分类给出的。如幂的运算中ａ　（ａ＜０）的运算结果需分ｎ是奇数和ｎ　是偶数两种情况讨论。　（三）由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论：例如，　解关于ｘ的不等式：ａ】【＋３￣２ｘ＋ａ，我们可以把不等式移项变形为ｆａ一２）ｘ＞　ａ一３，然后根据不等式性质可分为：ａ一２＞０，ａ一２＝０和ａ一２＜０三种情况分　别解不等式。　（四）对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨　论：如一元二次方程ａ，Ｔ　＋　＋ｆ＝Ｏ（ａ≠０）是否有实数根，完全取决于　△的符号，当６２—４ａｃ＞０时，方程有两个不相等的实数根；当　ｂ　一４ａｃ＝０时，方程有两个相等的实数根；当ｂ　一４ａｃ＜０时，方程无实　数根。再如讨论方程ａ，Ｔ　＋　＋Ｃ：０有实数根的情况也要分类：　①当ａ≠０时，方程是一元二次方程；　②当ａ＝０，ｂ≠０时，方程是一元一次方程。　（五）由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论：某些不　确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通　过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。例如：已知ＯＡ上ＯＣ，　ＡＯＢ：　ＡＯＣ＝２：３，求　ＢＯＣ的度数。由于　ＡＯＢ的边ＯＢ位置的不　确定性，需要分别讨论：①边ＯＢ在　ＡＯＣ外时，　ＢＯＣ＝１５０。；②边ＯＢ　在　ＡＯＣ内时，　ＢＯＣ＝３０。。再如，①等腰三角形的两边为４，６，求该三　角形的周长？②０Ｏ的半径为５ｅｒａ，ＡＢ和ＣＤ为０Ｏ中的两条平行弦，　求ＡＢ和ＣＤ间的距离？等问题都需要分类讨论。　三、分类讨论思想在不同教学内容中的运用　在初等数学中，用分类讨论解决的数学问题常见类型有：１、给出的　条件或结果中含有字母系数；２、给出的条件或结论中的某些数量关系　不确定；３、实际应用问题中有多种选择方案；４、给出的图形或图形中的　某些点、线段、角的位置不确定；５、与图形运动的变化相联系等。现将　分类思想在不同教学内容中的运用浅述如下：　（一）分类讨论思想在代数及函数等实际问题中的运用　当数学引入字母代替数的概念后，数学便由比较单一性特点转向　问题的多样性，学生的简单思维常常不能适应这样的变化。在一些用　字母表示的实际问题中，由于变量的不同取值会导致不同结果而需要　对其进行分类讨论。解决这类问题时，要做到分析清楚问题中变量在　整个过程中会造成质变的临界点，即变量的不同取值会对问题产生哪　些不同的结果，把它们一一罗列出来，系统地分类，才能正确求解。　・－——３７０－－——　观察上述两个函数考虑下列问题：　（１）ｘ为何值时Ｙ．＝ｖ　（２）ｘ为何值时Ｙ。＞ｖ２　（３）ｘ为何值时Ｙ。＜ｖ　解：（１）若Ｙ。＝ｖ２，则有６０＋０．５×０．０１ｘ＝３＋０．５×０．０６ｘ　解得：ｘ＝２２８０　（２）若Ｙｌ＞ｖ２，则有６０＋０．５×０．０１ｘ＞３＋０．５×０．０６ｘ　解得：ｘ＜２２８０　（３）若Ｙｌ＜ｖ２，则有６０＋０．５×０．０１ｘ＜３＋０．５×０．０６ｘ　解得：ｘ＞２２８０　综上所述，当照明时间等于２２８０ｄｘ时，购买节能灯、白炽灯均可；　当照明时间小于２２８０￣时，购买白炽灯较省钱；当照明时间大于２２８０　小时，购买节能灯较省钱。　例２：甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下　购苹果数　不超过３０千克　３Ｏ千克以上　５０千克以上　但不超过５Ｏ千克　每千克价格　３元　２．５兀　２７２，　甲班分两次购买苹果７０千克（第二次多于第一次），共付出１８９元，　而乙班则一次购买苹果７Ｏ千克。　（１）乙班比甲班少付多少元？　（２）甲班第一次、第二次分别购苹果多少千克？　分析：解答本题需要应用数学分类讨论思想。　（１）乙班共付出７０×２＝１４０（元），则乙班比甲班少付出的金额为４９　兀：　（２）设甲班第一次买苹果ｘ千克，第二次买苹果Ｙ千克（ｘ＜ｙ）。　①当ｘ≤３０千克时，则ｙ＞３０（否则ｘ＋ｖ≤６０≤７０），　｛　或｛蕊　。　解方程，得｛孑三露或｛　（不合题意舍去）　②若３０＜ｘ￣＜５０，则３Ｏ＜ｙ≤５０或ｙ＞５０　当３０＜ｙ≤５０，７０×２．５＝１７５＜１８９不合题意；　当ｙ＝５０时，ｘ＋ｙ＞８０＞７０，不合题意。　③若ｘ＞５０，ｖ＞ｘ，则ｘ＋ｙ＞７０不合题意。　。．．甲班第一次买苹果２８千克，第二次购买苹果４２千克。　说明：解第（２）问时涉及到分类讨论，分类的关键是以ｘ＜ｙ为条件，　分＠ｘ＜３０，＠３０＜ｘ￣＜５０，③ｘ＞５０三类进行讨论。　（二）分类讨论思想在方程问题中的运用　方程知识是初中数学知识的重点及基础，它涉及到一元一次方程、　二元一次方程组、一元二次方程、分式方程等，这些不同类型的方程之　间又可以通过降次、消元和去分母等方法互相转化。解此类问题需审　清题意，理清概念，弄清已知条件中的各种可能情况，并全面、系统地考　虑问题，确定出各种可能情况的分类框架，分类时也需做到条理清楚，　解答此类问题才不易造成漏解。　例３：已知方程（４一ａ）ｘ　’＋　一３＝０是关于ｘ的一元二次方程，　求ａ的值。　分析ｉ由题意可得，指数ｌａ一１１可以取不大于２的所有自然数，即２、　１、０。但学生往往忽略当ａ＝４时，虽然ｌａ一１１＞２，但由于系数ｆ４一ａ１＝０，方程　依然是一元二次方程。　解（１）当ｌａ一１１＝２时，ａ＝３或一１，此时方程为２　一３＝０或６ｘ％３＝０；　（２）当Ｉａ．Ｉ１Ｉ－１时，ａ＝２或０，此时方程为ｘ２＋２ｘ一３＝０或ｘ２＋４ｘ一３＝０；　（３）当ｌａ一１１＝０时，ａ＝ｌ，此时方程为ｘ２＝Ｏ；　（４）当ａ＝４时，此时方程为ｘ　３＝０。　综上所述，ａ的值为一１、０、１、２、３或４。　：　息　例４：当ａ为何值时，方程ｉ　＋羔　４ｘ厕＋ａ只有一个实数　（２）当ＡＢ为腰时，①以点Ａ为圆心，ＡＢ为半径作圆，交直线ｌ－、ｌｚ于点　Ｐ　、Ｐ　、Ｐｓ、　；②以点Ｂ为圆心，ＡＢ为半径作圆，交直线１　、１：于点Ｐ，、　、　、　Ｐｌ０。　根？求满足条件的实数ａ的值及方程的根。　分析：因原方程为分式方程，因而需考虑到增根问题。在解题时要　先把原分式方程化为一元二次方程，再分为两种情况讨论：一元二次方　程有两个不等实根，但其中一根为增根；一元二次方程有两个等根。　解：把原分式方程化为一元二次方程得：２ｒ　一２ｒ＋（１一口）＝０（※）　（Ｉ）当一元二次方程有两个不等实根时　综上所述，Ｐ，、Ｐ　、……Ｐ。。为所求作的点。　（四）分类讨论思想在圆中的运用　由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，　有许多问题需要分类讨论，如：由于点与圆的位置关系的不确定而分类　讨论；由于点在圆上位置关系的不确定而分类讨论；由于弦所对弧的优　劣情况的不确定而分类讨论；由于两弦与直径位置关系的不确定而分　△＝４—８（１一ａ）＞０，得ａ＞去（　类讨论；关于直线与圆的关系分类讨论；关于圆与圆的关系分类讨论　分式方程的增根ｘ＝０或ｘ一１分别代人方程（※）　等，此类题极易漏解，原因是在没有给出具体的图形情况下很难想到要　得ａ＝ｌ或ａ＝５　②　分类讨论。正确解答此类问题的关键是熟悉概念，了解图形特点，紧扣　由①、②可得ａ＝ｌ或ａ＝５。　条件，全面考虑符合条件的图形的各种可能位置，准确地画出图形。　当ａ＝ｌ时，方程为２．ｒ　～　＝０，解得　ｌ＝Ｏ　根，舍去），　２：１；　例８：相交两圆的半径分别为８和５，公共弦为８，这两个圆的圆心距　当ａ＝５时，方程为２ｒ　一　一４＝Ｏ解得　１＝－１（增根，舍去），ｚ２＝２。　等于——。　（２）当一元二次方程有两个等根时　△＝４—８（１一ｎ）＝０，得口：　此方程（※）　一　＋１＝０，解得　１＝ｚ２＝去。　综上所述，满足条件的实数ａ的值为１、５或去；方程的根分别为１、２　或　。　（三）分类讨论思想在三角形问题中的运用　三角形是平面几何中最简单、最基本的图形，也是学生最熟悉的图　形，在三角形问题中最常见的分类讨论的问题往往是等腰三角形问题，　例如已知等腰三角形两边长求周长问题、已知等腰三角形一个角求其　余两角问题等。在解题时注意按第三边是底边或腰分类、按已知角是　顶角或底角分类，便能完整无误地得出正确答案。也有形状不确定的　三角形问题，这时常常需要分钝角三角形和锐角三角形等情况讨论；在　直角三角形中，直角边和斜边不明确时也需要分类讨论。　例５：在ＡＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ上的高，ＡＢ＝Ｉ５，ＡＣ＝１３，ＡＤ＝１２，求△　ＡＢＣ的周长。　解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。　Ａ　Ａ　Ｂ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　图１　图２　如图１，当ＡＡＢＣ的高在形内时，由勾股定理可知ＢＤ＝９，ＤＣ＝５，所　以△ＡＢＣ的周长为：１５＋１３＋９＋５＝４２；　如图２，当高ＡＤ在形外时，此时ＡＡＢＣ为钝角三角形。　此时ＡＡＢＣ的周长为：１５＋１３＋９—５＝３２。　例６：已知ｘ，Ｙ为直角三角形两边的长，满足１　一４Ｉ＋、／．ｙ　一墨ｙ＋６　＝０‘，则第三边的长为——。　解析：由ｌ　一４Ｉ＋．／ｙ。一ｓｙ＋６＝ｏ，司隅，７３。一４＝０Ｉ￣Ｉ　ｙ。一５ｙ＋６＝ｏ　分别解这两个方程，可得满足条件的解　二；，，～一０　或｛ｒ　Ｉ，　２一二；０　　由于ｘ，Ｙ是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。　当两直角边长分别为２，２时，斜边长为√２０＋２　＝２√２；　当直角边长为２，斜边长为３时，另一直角边的长为√５；　当一直角边长为２，另一直角边长为３时，斜边长为√１３。　综上所述，第三边的长为２√２或√５或√ｌ３。　例７：如图３，已知直线ｌ　、ｌ：和线段ＡＢ，求作：直线ｌ。、１　上的点Ｐ，使△　ＰＡＢ是等腰三角形。　分析：已知等腰三角形的一边ＡＢ，作等腰三角形，需分成两类：ＡＢ为　底边；ＡＢ为腰。而第二类又可细分为：　Ａ为顶角；／Ｂ为顶角。　解：（１）当ＡＢ为底边时，作线段ＡＢ的中垂线，交直线ｌ。、ｌ：于点Ｐ。、　Ｐ２；　－－　＿　，　、／　，～，　／　、＼；、　　ｐＪｆ．　　、　、～～、、　害　ｌ｜　夸：：：　。．　，　　／　图３　分析：在解无附图的几何问题时，需要从多种情况出发，考虑到图形　的各种不同的位置关系，以防漏解。因两圆的半径都大于公共弦长的　一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。　解：（１）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图４，设ＡＢ是公共弦，　ｏ　０　交ＡＢ于点ｃ，则ＡＣ＝４，由勾股定理解得Ｏ１Ｃ＝４４ｇ，Ｏ２Ｃ＝３，　故０　Ｏ　４　一３。　图４　（２）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图５，可求得Ｏ　Ｃ＝４√　，　Ｏ２Ｃ＝３。故ｏｌＯ２＝４　＋３。　图５　所以这两圆的圆心距为４√　＋３或４√　一３。　例９：如图６，ＡＢ是圆Ｏ的弦，ＡＣ是圆Ｏ的切线，ＬＢＡＣ＝６０。，则　弦ＡＢ所对的圆周角等于——。　’　分析：因弦ＡＢ所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个弦切角所　夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。　解：（１）当这个圆周角的顶点在弦切角所夹的弧上时，求得这个圆　周角为１２０。。　（２）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的弧以外的弧上时，求得　这个圆周角为６０。。　所以弦ＡＢ所对的圆周角等于１２０。或６０￣。　Ａ　Ｃ　图６　四、小结　分类讨论思想，贯穿于整个初等数学的不同教学内容之中，分类讨　论思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，它需要根　据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步　渗透，螺旋上升，才能不断的丰富自身的内涵，提高学生学习数学的兴　趣和培养学生思维的条理陛、缜密性、科学性。　参考文献　［１］王小虎．分类思想的教学与运用［Ｊ］．教研新干线，２０１２，１２：８３—８４　［２］刘梦清．分类讨论思想与解题应用Ｕ］．考试周刊，２０１１，７７：１１—１３　—３７１—