高中数学-排列组合100题(附解答)

一、填充题

1. (1)设A3,8﹐B8,3x6﹐若AB﹐则x____________﹒

(2)设Ax|x23x20﹐B1,a﹐若AB﹐则a____________﹒

2 2. (1)x2展开式中x10项的系数为____________﹒

x1(2)2x2展开式中x3项的系数为____________﹒

3x1(3)2x32展开式中常数项为____________﹒

x558 3. (1)2xyz展开式中x3y3z2项的系数为____________﹒

(2)3xy2z展开式中﹐x2y.3项的系数为____________﹒

58 4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒

5. 1,2A1,2,3,4,5,且A有4个元素﹐则这种集合A有____________个﹒

6. 从2000到3000的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒

7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒

8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有__

·····__________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒（注意：

外套可穿也可不穿﹒）

a13 9. 已知数列an定义为﹐n为正整数﹐求a100____________﹒

aa2nnn110. 设A﹑B﹑T均为集合﹐Aa,b,c,d﹐Bc,d,e,f,g﹐则满足TA或TB的集合T共有

____________个﹒

11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数：

(1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒ (2)每对夫妇相对而坐____________﹒

12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有

____________种﹒

13. 如图﹐由A沿棱到G取快捷方式（最短路径）﹐则有____________种不同走法﹒

14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒

101315. 22i展开式中﹐各实数项和为____________﹒ 2an16. 有一数列an满足a11且an11﹐n为正整数﹐求3an____________﹒

3n117. 设A2,4,a1﹐B4,a2,a22a3﹐已知AB2,5﹐则ABAB____________﹒

18. 把1～4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐则

共有____________种排法﹒（例如：2314及3421均为符合要求的排列）

19. 从1到1000的自然数中﹐

(1)是5的倍数或7的倍数者共有____________个﹒ (2)不是5的倍数也不是7的倍数者共有____________个﹒ (3)是5的倍数但不是7的倍数者共有____________个﹒

20. 如图﹐从A走到B走快捷方式﹐可以有____________种走法﹒

21. 1到1000的正整数中﹐不能被2﹑3﹑4﹑5﹑6之一整除者有____________个﹒

22. 将100元钞票换成50元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则

(1)50元硬币至少要1个的换法有____________种﹒ (2)不含1元硬币的换法有____________种﹒

23. 求x1除x1001的余式为____________﹒

224. 在xyz的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐(1)共有____________个不同类项﹒(2)其中x3y2z3的系数

为____________﹒

825. 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜；小美第一次猜75168﹐小明说五个数字都对﹐但只

有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜____________次才能猜对﹒

26. 若Sx|x為正整數,x為正整數,1x10000﹐Tx|x12k,k為正整數,1x10000﹐则

nST____________﹒

27. 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A﹐9的倍数所成集合为B﹐12的倍数所成集合为C﹐则

(1)nAB____________﹒ (2)nABC____________﹒ (3)nABC____________﹒ (4)nABC____________﹒

28. 1到300的自然数中﹐是2或3的倍数但非5的倍数有____________个﹒

29. x22x2除以x1所得的余式为____________﹒

10330.

如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒（圖固定不得旋轉）

31. 如图﹐则

(1)由A取捷徑到B的走法有____________種﹒ (2)由A走到B﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒

2032. 求1x31x3……1x3展开式中x12项系数为____________﹒

233. 1x展开式中x5的系数为____________﹒

k010k34. 展开0.990.abcd……﹐则abc____________﹒

2035. 建中高二教室楼梯一层有11个阶梯﹐学生上楼时若限定每步只可跨一阶或二阶﹐则上楼的走法有____________

种﹒

nnn2Cn36. 利用二项式定理求C123C3nCn和为____________﹒

37. 四对夫妇Aa﹑Bb﹑Cc﹑Dd围一圆桌而坐﹐若Aa要相对且Bb要相邻的坐法有____________种﹒

38. 许多白色及黑色的磁砖﹐白色的磁砖为正方形﹐边长为1单位；黑色为长方形﹐其长为2单位﹐宽为1单位﹔

则贴满一个长7单位﹐宽1单位的长方形墙壁﹐共有____________种方法﹒

39.

如圖,有三組平行線,每組各有三條直線,則 (1)可決定____________個三角形. (2)可決定____________個梯形.（一組對邊平行,另一組對邊不平行）.

40. 小功家住在一栋7楼的电梯公寓﹐今天小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上﹐假设每人按下

自己想要到的楼层（可相同或不同）﹐请问电梯有____________种停靠方式﹒（假设这期间电梯只会由下而上依次停靠这6人所按的楼层）

2020202C2041. 设SC123C3......20C20,则S为____________位数﹒（设log20.3010）

42. 4面不同色的旗子﹐若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号﹐如果考虑上下的次序﹐则可作成

____________种不同的讯号﹒

43.

A至B﹐則 如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從(1)走法有____________種﹒ D的走法有____________種﹒ (2)若不得經過C且不經過

44.

圖中的每一格皆是正方形﹐邊長均為1個單位﹐試問由圖中線段 (1)共可決定____________個矩形﹒ (2)可決定____________個正方形﹒

45. 有红﹑白﹑黄三种大小一样的正立方体积木各20个﹐从中取出7个积木﹐相同颜色堆在一起﹐一一重迭堆高﹐

共有____________种堆法﹒

46. 2颗苹果﹐3颗番石榴﹐4颗菠萝﹐将9颗水果任意装入4个不同的箱子﹐水果全装完每个箱子至少装一颗水果

有____________种方法﹒（同种水果视为同物）

47. A﹑B﹑C﹑D﹑E五对夫妇围成一圆桌而坐（座位无编号）﹐A夫妇相对且B夫妇相邻的情形有

____________种﹒

48. 如图﹐取快捷方式而走﹐由A不经P﹑Q至B有____________种方法﹒

49. 将pallmall的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有____________种﹒

50. 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____________种排法﹒

二、计算题

3﹐n为自然数﹐试求(1)a2﹐a3﹐a4﹐a5﹒(2)推测an之值（以n表示）2 1. 设数列an满足a14且ak1an﹒(3)ak﹒

k140

2. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同

时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法？

3. 试求3x2y的展开式﹒

4. 试求2x1的展开式﹒

46

5. 从SENSE的5个字母中任取3个排成一列﹐问有几个排法？

6. 下列各图形﹐自A到A的一笔划﹐方法各有多少种﹖

(1) (2) (3)

7. 如图﹐至少包含A或B两点之一的矩形共有几个？

1n 8. 设xy展开式中依x降序排列的第6项为112﹐第7项为7﹐第8项为﹐试求x﹑y及n之值﹒（但x﹑y4都是正数）

9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共16颗球﹐任取四颗﹐则

(1)四球恰为红﹑白二色的情形有几种？ (2)四球恰具两种颜色的情形有几种？

10. 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法？

11. 设U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10为一基集（宇集）﹐则A1,2,4,5,8﹐B1,2,5,7,9﹐求

(1)AB (2)AB (3)AB (4)BA (5)A (6)B (7)AB (8)AB (9)AB' (10)A'B'﹒

12. 若x2x11a1xa2x2x38﹐求a1和a2的值﹒

19

13. 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖

44(1)C3﹒ (2)P44﹒ (3)4﹒ (4)H4﹒ (5)4﹒

4

14. 如图﹐AA一笔划的方法数有几种﹖

(1) (2)

15. 如图﹐由A至B走快捷方式﹐不能穿越斜线区﹐有多少种走法﹖

16. 求0.998之近似值﹒（至小数点后第6位）

717. 设1xx21011axbx2cx202﹐求a﹑b﹑c之值﹒

nnC0CnC1Cn1218. (1)试证明下列等式成立:n2n11. 123n1n1nCnC1Cn312(2)设n为自然数﹐且满足Cn,则n之值为何？

23n1n1n0

19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9所组成的2位数﹐则

(1)不小于60分的数有几个﹖ (2)有几个3的倍数﹖

(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖

20. 某日有七堂课﹐其中有两堂是数学﹐有两堂是国文﹐另外是英文﹑生物﹑体育各一堂﹒若数学要连两堂上课﹐

国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午（即第四五节课不算连堂）﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖

21. 1xx21011axbx2cx3x202,求a﹑b﹑c﹒

22. 已知A0,,1,2,1,1,2﹐下列何者为真﹖

(A)A (B)A (C)0A (D)0A (E)1,2A 23.

1,2AA﹒

(F) (G)E五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐設有A﹑B﹑C﹑D﹑今某人自A地到E地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以上﹐且不必走過每一市鎮﹐求有幾種不同路線可走﹖

24. 设数列an的首项a15且满足递归关系式an1an2n3﹐n为正整数﹐试求(1)a2﹐a3﹐a4﹐a5﹒(2)一

般项an（以n表示）﹒(3)a20﹒

25. 方程式xyz10有多少组非负整数解？

26. 用0﹑1﹑2﹑3﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用

(1)可作成多少个﹖ (2)其总和若干﹖

678192027. 求C52C3C4C5LC16C17的值﹒

28. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问

俱乐部有多少种不同的购买方式？

29. 设直线方程式axby0中的a,b是取自集合3,2,1,0,2,4,6中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值

﹐试问共可表出几条相异的直线﹖

30. 下列各图﹐由A到B的一笔划﹐方法各有多少种﹖

(1) (2)

31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图（图形不能转动）﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖

(1) (2)

32. 平面上有n个圆﹐其中任三个圆均不共点﹐此n个圆最多可将平面分割成an个区域﹐则(1)求a1﹐a2﹐a3﹐a4﹒(2)写出an的递归关系式﹒(3)求第n项an（以n表示）﹒

33. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖（各图固定﹐不得旋转）

(1) (2) (3)

34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法：

(1)休旅车及跑车相间排列﹒ (2)休旅车及跑车各自排在一起﹒

35. 从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取2本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法？

36. 将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种？

(1)分给甲﹐乙﹐丙3人﹐每人各得3本﹒ (2)分装入3个相同的袋子﹐每袋装3本﹒

(3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装5本﹐另两袋各装2本﹒

37. 学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有42位同学参赛﹐其中有34位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参加

的同学有15人﹒试问此班有多少位同学参加象棋比赛？

38. 求x2x1的展开式中x2的系数﹒

3

39. 求x2x2的展开式中x4的系数﹒

3

40. 求240的正因子个数﹒

41. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自

甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排？

42. 某班举行数学测验﹐测验题分A﹐B﹐C三题﹒结果答对A题者有15人﹐答对B题者有19人﹐答对C题者有

20人﹐其中A﹐B两题都答对者有10人﹐B﹐C两题都答对者有12人﹐C﹐A两题都答对者有8人﹐三题都答对者有3人﹒试问A﹐B﹐C三题中至少答对一题者有多少人？

43. 在1到600的正整数中﹐是4﹐5和6中某一个数的倍数者共有几个？

44.

用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形： 設an是第n圖需用到的白色地磚塊數﹒ (1)寫下數列an的遞迴關係式﹒ (2)求一般項an﹒ (3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒

45. 欲将8位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒

(1)若平均每班安排2人﹐共有几种分法？

(2)若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排1人﹐共有几种分法？

nnC3nLCn3000的正整数n﹒ 46. 求满足2000C1nC2

47. (1)方程式xyz9有多少组非负整数解﹖

(2)方程式xyz9有多少组正整数解﹖

48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房

与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖

49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖

50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等5种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有

多少种不同的休闲安排呢﹖

答 案 一、填充题 (65格 每格0分 共0分)

1. (1)1;(2)2 2. (1)112;(2)0;(3)40 3. (1)4480;(2)90 4. 48 5. 3 6. 468 7. 56 8. 60 9. 9903

110. 44 11. (1)48;(2)384 12. 228 13. 6 14. 90 15.  16. 6 17. 4,4 18. 8 19.

2(1)314;(2)686;(3)172 20. 35 21. 266 22. (1)37;(2)18 23. 100x98 24. (1)45;(2)560 25. 9 26. 84 27. (1)555;(2)277;(3)1111;(4)1111 28. 160 29. 10x220x11 30. 780 31. (1)26;(2)120 32. 20349 33.

462 34. 16 35. 144 36. n2n1 37. 192 38. 21 39. (1)27;(2)81 40. 63 41. 8 42. 64 43. (1)56;(2)20 44. (1)369;(2)76 45. 129 46. 3756 47. 8640 48. 80 49. 54 50. 240

二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)

171135﹐a37﹐a4﹐a510;(2)n;(3)1330 2. 600 3. 见解析 4. 见解析 5. 18 6.

22221﹐n8 9. (1)3;(2)18 10. 28 11. 见解析 12. 2 1. (1)a2(1)48;(2)48;(3)96 7. 150 8. x4﹐ya119,a2190 13. (2) 14. (1)32;(2)64 15. 27 16. 17. a101,b4949,c1 18. (1)见解析;(2)4

19. (1)28;(2)14;(3)57 20. 52 21. a101,b4949,c156550 22. (A)(B)(C)(E)(F)(G) 23. 76 24. (1)a24﹐a35﹐a48﹐a513; (2)n24n8;

(3)328 25. 66 26. (1)63;(2)25299 27. 5980 28. 45 29. 13 30. (1)72;(2)864 31. (1)420;(2)3660 32. (1)a12﹐a24﹐a38﹐a414;(2)an1an2n;(3)n2n2 33. (1)260;(2)3380;(3)43940 34. (1)72;(2)72 35. 18000 36. (1)1680;(2)280;(3)378 37. 23 38. 6 39. 9 40. 20 41. 8 42. 27 43. 280 44. (1)anan15,n2;(2)5n3;(3)478 45. (1)2520;(2)1120 46. 11 47. (1)55;(2)28 48. 18 49.

720 50. 625

解 析 一、填充题 (65格 每格0分 共0分)

1. (1)3x63x1﹒

(2)x23x20x1x20x1,2﹐∴a2﹒

r2. (1)设第r1项为x项﹐则C108rx28rr162rr28C2xx rx 163r10r2﹐∴x10项之系数为C822112﹒ (2)设第r1项为x3项﹐则C5r22x25r155r1102rrx Cr2x3x3rr 103r3r7（不合）﹐∴x3项之系数为0﹒ 35r(3)设第r1项为常数项﹐则C2x35r155r153r2rx 2Cr2xxr2 155r0r3﹐∴常数项为C53240﹒

3. (1)2xyz3328!22314480﹒ 3!3!2!(2)

5!23033xy2z10321x2y390x2y3﹐∴系数为90﹒ 2!3!4. 所求为1161412148﹒ [另解]

4!3248﹒ 45. 1,2,3,4﹐1,2,3,5﹐1,2,4,5﹐共3个﹒

300020006. 2000~3000中3的倍数有334个﹐

33300020002000~3000中5的倍数有51201个﹐ 5300020002000~3000中15的倍数有1567个﹐ 15∴所求为33420167468﹒

P87. 356﹒

3!8. 542160﹒

9. ∵an1an2n﹐ ∴a2a121 a3a222

M M

)anan12n1

ana1212n132n1nn2n3﹐

2∴a100100210039903﹒

10. ∵TATB﹐

∴T的个数为2425221632444﹒

11. (1)

5!248﹒ 5(2)AaBbCcDdEe 1181614121384﹒ [另解]

5!512384﹒ 5212. 全部－（恰有一空箱）－（恰有二空箱）

3322311H34H5C1H4H511C2H4H5

756C64C53C4C523228﹒

13. 3216﹒

14. 任意排0在首位

7!6!567561051590﹒ 4!2!4!2!2215. 展开后各实数项和为

642033333101101101101101101C0C2iCiCiCiCi46810222222222221082468105121﹒ 10242[另解]

1013cos600isin600原式cos60isin60i﹐ 221∴实数项和为﹒

2216. ∵an11an

32∴an1an1

3an1an2anan1 3252而a11﹐a21a1﹐a2a1﹐

33322表示数列an1an为首项﹐公比的等比数列﹐

33ana1a2a1a3a2anan1

122133123n1n12n1212132﹐

332∴3an2n1n13n122136﹒

17. ∵AB2,5﹐∴a15a4﹐

∴A2,4,5﹐B4,2,5﹐AB4,2,4,5﹐ ∴ABAB4,4﹒

18. 1234 3214 2134 3241 2314 3421 2341 4321 共8种﹒

19. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U﹐

A﹐ 1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為B﹐ 而7的倍數者所成的集合為則AB表示35的倍數者所成的集合﹐ (1)即求nABnAnBnAB 100010001000 20014228314﹒ 5735

(2)即求nABnABnUnAB1000314686﹒

(3)即求nABnAnAB20028172﹒

20.

7!35﹒ 4!3!21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐

故本题即求1到1000正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒

1000500﹐设1到1000之正整数中﹐可被2﹑3﹑5整除者之集合分别为A﹑B﹑C﹐则nA210001000nB333nC﹐5200﹐ 3100010001000nAB166nAC100nBC66﹐ ﹐﹐610151000nABC33﹐ 30nABCnAnBnCnABnACnBCnABC

5003332001661006633734﹐

故所求为nA'B'C'1000nABC1000734266（个）﹒

22. (1)一个50设10元x个﹐5元y个﹐1元z个﹐则10x5yz50﹐

x 0 1 2 3 4 5 0 0 y 0～10 0～8 0～6 0～4 0～2 z 50～0 40～0 30～0 20～0 10～0 共119753136种﹒ 二个501种﹒ ∴所求为36137种﹒

(2)设50元x个﹐10元y个﹐5元z个﹐则50x10y5z100 10x2yz20﹐

x y 0 0～10 20～0 1 0～5 10～0 2 0 0 z

共116118种﹒

23. x10011x1210010010011C1001x1C2x1……C100x121001﹐

∴x1001除以x1的余式为1100x11100x98﹒

310C1024. (1)H88C245﹒

(2)

8!560. 3!2!3!25. 先考虑5不在千位﹐1不在百位﹐6不在十位﹐8不在个位的方法﹐

14!43!62!41!10!9﹐∴最多再猜9次﹒

26. Sx|x為正整數,1x1000012,22,32,LL,1002,∴nS100﹐ Tx|x12k,k為正整數,1x10000﹐

令x12k223k2233l26l﹐ 则ST61,62,LL,616, ∴nST16﹐故nST1001684﹒

22229999555﹒ 27. (1)所求为189999(2)所求为277﹒

36(3)nABCnABnCnABC 5558332771111﹒ (4)nABCnABAC

nABnACnABAC 555833nABC 5558332771111﹒

28.

n2n3n6n15n10n30 15010050203010160﹒

229. x22x2x11

101022221010x1Cx1Cx1C10 Cx1C10……9210 101010921022故余式为C101x1C010x2x1110x20x11﹒

230.

B﹑D同﹐ ABDCE54143240,ABDCE54333540, B﹑D異﹐

由可得﹐共有240540780种﹒

31.

(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為 26 走到該點的走法數（累加法）﹒如圖﹐走法有種﹒

(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒ 如圖﹐由P出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒

33201x1x11x3211x3﹐ 33x1x132. 1x31x3……1x3220所求即分子1x3展开式中x15项系数

2121∴所求为C5212019181720349﹒

5432101233. 1x1x1x1x……1x

k011111x11x11 ﹐

11xx10k10展开式中x5系数即为11x展开式中x6系数﹐ ∴所求为C1161462﹒

61134. 0.9910.01

202020 1C10.01C20.01C30.01……C20200.01

23202020 10.20.0190.00114……0.81786﹐ ∴abc81716﹒

35. 设一步一阶走x次﹐一步二阶走y次﹐则x2y11﹐

x y 1 5 3 4 5 3 7 2 9 1 11 0

6!7!8!9!10!1144﹒ 5!3!4!5!3!7!2!9!

nnn2Cn36. 令SC123C3nCnnnn1C1Cn则SnC0 n1n1nnn﹒ 2SnC0C1Cnnn2﹐∴Sn237.

AaBb選位1142!4!192.

38. 设白色x块﹐黑色y块﹐则x2y7﹐

y 0 7 1 5 2 3 3 1

x 16!5!4!1610421﹒ 5!2!3!3!333C1C127﹒ 39. (1)C133333333(2)C32C1C1C2C1C1C2C1C181﹒

40. 26163

202020202C23C320C20 41. SC1202020S20C019C1C19

2020202S20C0C1C2020220﹐∴S10220﹐

∵log22020log2200.30106.02﹐∴220为7位数﹐∴S为8位数﹒

42. 选一面4﹐

选二面4312﹐ 选三面43224﹐ 选四面432124﹐ 由

可得﹐共可作成412242464种﹒

43. (1)

8!56﹒ 5!3!(2)所求全部nCD

56ACBADBACDB 4!3!5!4!4!3!1 56

2!3!2!3!2!2!2!2!2! 5630241820﹒

3342C1C1C172, 44. (1)含中空:C1 左 上 右 下

7934792334342 不含中空:C32C2C2C2C2C2C2C2C2C2C2C23C2C2

左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 631081263691836297 ∴所求为72297369.

(2)含中空:边长为31﹐边长为44﹐边长为56﹐边长为63﹐∴共14个﹐ 不含中空:

625128176352418523122362,

左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276个﹒

45. 只用一色:3种﹐

只用二色:6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6

∴C22!636, 3 上下色交換用三色:红+白+黄=7 1 1 1 剩4

∴H43!C4690, 紅白黃排列 ∴共33690129种﹒

364433322211146. 1H42H3H44H2H3H46H2H3H44H2H3H410

700049006604103756﹒

47. AaBb坐法其他6人坐法

1162!6!8640﹒

48. ABAPBAQBAPQB 10!4!6!5!5!4!5!1210901006080﹒ 6!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!49. aa不相邻且llll不相邻﹐可先排pmaa﹐再安插llll﹐

aa排在一起时：pmaa排法有3!6种﹐

44种﹒ 再安插4个l：△p△m△a△a△方法有C3 ↑ l

aa不排在一起时：△p△m△排法有2!C326种﹐

再安排4个l：△p△a△m△a△方法有C545种﹒ 由

可知﹐排法有646554种﹒

[另解]

4!P5P443!460654﹒ llll不相邻llll不相邻且aa相邻2!4!4!50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240﹒

二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)

33﹐∴an1an﹐ 221. ∵an1an3表示an为首项4﹐公差的等差数列﹐

2(1)a2a1 a3a2 a4a3 a5a433114﹐ 22231137﹐ 22233177﹐ 222317310﹒ 222335n﹒ 222(2)ana1n1d4n1340244014021330﹒ (3)aka1a2a402k12. 从8名教师中选出4名教师去4个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形： (1)若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐

因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有C52种﹒ (2)若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐

因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有C64种﹒

6综合这两种情形﹐从8名教师中选派4名教师的选法共有C52C425种﹒

而选出4名教师后﹐分别安排到4个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ 因此总共有254!600种选派方法﹒

66663. 3x2yC603xC13x2yC23x2yC33x2yC43x2y

66514233246C53x2yC662y

56 729x62916x5y4860x4y24320x3y32160x2y4576xy564y6.

44444. 2x1C02xC142x1C22x1C32x1C41

443122134 16x432x324x28x1﹒

5. SENSE的5个字母中取3种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形：

(1)选出三个字母皆不相同的选法有C331种﹐排列的方法有3!种﹐ 因此排法有C333!6种﹒

22C1(2)选出两个字母同另一不同的选法有C1种﹐排列的方法有

3!种﹐ 2!1!22 因此排法有C1C13!12种﹒ 2!1!综合这两种情形﹐共有18种排法﹒

6. (1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种（两个方向）﹐故所求为233!48种﹒ (2)233!48﹒ (3)243!96﹒

7. nABnAnBnAB

253343422332C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1

909636150.

nn55xy112 8. C5nn66C6xy7

1nn77C7xy

46x16 n5y7x28 n6y6n67n516﹐∴n8﹐ 28代入x8y﹐由

111C8yyy8﹐即得y﹐x4﹐

42287781∴x4,y,n8（取正值）﹒

29. (1)红+白=4

3 1 1 剩2H22C23﹒

[另解] 红 白

132

1共3種. 23(2)利用第(1)题的结果3C4218﹒

10. 用8步走完10级楼梯﹐假设一级走了x步﹐两级走了y步﹐ xy8可列得解得x6﹐y2﹐

x2y10因此用这样的走法共有

8!28（种）﹒ 6!2!11.

(1)AB1,2,4,5,7,8,9﹒ (2)AB1,2,5﹒ (3)AB4,8﹒ (4)BA7,9﹒ (5)AUA3,6,7,9,10﹒ (6)BUB3,4,6,8,10﹒ (7)AB3,6,10﹒ (8)AB3,6,10﹒ (9)AB3,4,6,7,8,9,10﹒

1918(10)AB3,4,6,7,8,9,10﹒ 21919212. x2x11xxC01xC11xx﹐

191919191919∴a1C190C1119,a2C0C2C1190.

13. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有P44432124种﹒ 故选(2)﹒

14. (1)2532﹒

(2)先往右24232﹐ 先往左22432﹐ 共有323264﹒

15.

如图﹐共有27种方法﹒

77716. 0.99810.0021C10.002C720.002C30.002C70.002

77237 10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.

17. 1xx210121xx101

1x101C10111x100x2C10121x99x22101C101x2

101c11011﹐

∵1x展开式中才有x项﹐∴aC1011101, ∵1x及C10111x101100101x2展开式中均有x2项﹐∴bC1012C14949.

101n1!Cnn!11Cn18. (1)∵kk1﹐

k1nk!k1k!n1nk!k1!n1 ∴左式(2)承(1)知﹐

111n1n1n1CnCCC2n11. k12n1n1n1k0k1n1312n112n1131﹐得n4﹒ n1n119. (1)□□：4728﹒ ↓ 6﹑7﹑8﹑9

(2)45﹑48﹑54﹑57﹑60﹑66﹑69﹑75﹑78﹑84﹑87﹑90﹑96﹑99﹐共14个﹒ (3)4□7个﹐ 5□7个﹐

∴a1459﹐a1358﹐a1257﹐∴平均为57分﹒

20.

上午 下午 1 數 數 數 體 體 體 體 2 數 數 數 數 數 體 3 國 體 體 數 數 數 4 國 ╳ ╳ ╳ ╳ 數 5 ╳ 國 ╳ 國 ╳ 國 6 體 國 國 國 國 國 國 7 體 2228 體 2228 國 2124 體 2228 國 2124 23212體 2228國 體 數 數 ╳ 8848412852∴共有種﹒

21. 1xx21011xx2101101

100 1xC10111xxC1xx210129922101C101x2101

1x101101x21x100x4fx﹐其中fx为一多项式﹐

∴x项的系数aC1011101, x2项的系数bC10121014949,

100 x3项的系数cC1013101C1156550.

23.

∴共有441212218396676种走法﹒

24. (1)∵an1an2n3且a15﹐ ∴a2a1213514﹐ a3a2223415﹐ a4a3233538﹐ a5a42438513﹒ (2)∵an1an2n3﹐

∴a2a1213 a3a2223

M M

an1an22n23)anan12n13ana1212n13n152n1n3n3n24n82﹒

(3)a202024208328﹒

3310112C10C1225. x﹐y﹐z的非负整数解共有H1010C266（组）﹒

26. (1)3﹑4﹑5 1﹑3﹑5 →有363个 2 4﹑5 1﹑3﹑5 →有123个 2 3 1﹑3﹑5 →有113个

∴共有36323363个大于230的三位数奇数﹒

(2)个位数字为1者有36121121个﹐为3﹑5者也各有21个﹐ 故个位数字的和为21135189﹒

十位数字为1﹑2者各有339个﹐为3者有33312个﹐为4﹑5者各有 331312个﹐

故十位数字和为9121231245171﹒

百位数字为3﹑4﹑5者各有6318个﹐为2者有23139个﹐ 故百位数字和为1834592234﹒ 由

可知﹐总和为1891711023410025299﹒

65655且C527. 由于C12C2C1C25﹐于是利用帕斯卡尔定理CmCm1Cm﹐得

nn1n16781920原式C62C3C4C5LC16C175

781920C7 C34C5LC16C175

81920 C84C5LC16C175

215 C17 5980﹒

28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各x1﹐x2﹐x3把﹐ 根据题意得x1x2x38﹒

338110C8C10其非负整数解有H88C245（组）﹐

故共有45种不同的购买方式﹒

29. 直线axby0是恒过原点﹐且斜率为于0﹒我们以a的正负情形讨论如下﹕

aa的直线﹒因为斜率为正值﹐所以a,b必须异号﹐且a,b皆不等bb(1)当a0时﹐a有3种选法﹐而此时b0亦有3种选法﹐ 因此有339种选法﹒

(2)当a0时﹐a有3种选法﹐而此时b0亦有3种选法﹐ 因此有339种选法﹒ 但是

当a,b2,1,4,2,6,3时﹐均表示同一条直线2xy0﹒ 当a,b3,6,2,4,1,2时﹐均表示同一条直线x2y0﹒ 当a,b2,2﹐2,2时﹐均表示同一条直线xy0﹒ 因此需扣除重复计算的2215条直线﹒ 故共可表出99513条相异的直线﹒

30.

A(1)從A走到P後 ﹐方法有2種﹐ B3!種﹐ AP 完成到的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P到B的各路線﹐方法有 ∴共有23!3!23!72種﹒ APQAPP(2)到後 Q ﹐方法2種﹐到後 ﹐方法2種﹐ B32864223!3!3!23! ∴共有種﹒ 2

31. (1)B﹑D同色﹐ABDCE 5433180﹐ B﹑D异色﹐ABDCE 54322240﹐ ∴共有180240420种涂法﹒

(2)B﹑D﹑F同色﹐ABDFCEG 54333540﹐ B﹑D﹑F异色﹐ABDFCEG 5432222960﹐ B﹑D同色﹐F异色﹐ABDFCEG 543322720﹐

同理B﹑F同色﹐D异色；D﹑F同色﹐B异色涂法也各有720种﹐ ∴共有54096072033660种﹒

32.

(1)a12 a24 a38 a414 n1 n2 n3 n4

(2)a12﹐a2a12﹐a3a222﹐a4a323﹐∴an1an2n﹒ (3)∵an1an2n且a12﹐ ∴a2a121 a3a222

M M

an1an22n2 )anan12n1

ana1212n122 ∴ann2n2﹒

n1nn2n22

33. (1)

A﹑C同色﹐ ABCD541480,

A﹑C异色﹐

ABCD

5433180, 由可得﹐共有80180260种﹒

2(2)由(1)可知541433﹐推得5414333380﹒ (3)54143343940﹒

334.

(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩 種情形﹐如圖所示： 3輛休旅車排成一列共有3!6種方法﹐ 同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示： 所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看 2!23!6 成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有種方法﹒又3輛休旅車之間有 3!6 種排列方法﹐3輛跑車之間有種排列方法﹒ 2!3!3!26672 故共有種排法﹒

535. 选出2本英文书3本中文书的方法有C62C3150（种）﹐

将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐

5故所求排法为C62C35!18000（种）﹒

36.

C9(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有3種； 3C即種；剩下的3本給丙﹐36C3 再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有種﹒ 因此﹐全部分配方式共有 963 C3C3C31680（種）﹒ (2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐ 丙的記號﹐則有C3C3C3種分 法﹐但事實上袋子是相同的﹐因 此每種只能算1種﹐如圖所示﹒ 63C916803C3C3280（種） 故分配方式共有﹒ 3!6(3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得 942 2本的分法有C5C2C2種﹒ 因袋子是無記號的﹐所以如圖的種其實是同1種﹒ 42C95C2C2378 故分配方式共有2!（種）﹒

37.

2!3!963設集合A表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合AB表示參加棋藝活動的同學﹐ 集合AB表示參加兩種棋藝活動的同學﹒ nAB42﹐nAB15﹒由題意知nB34﹐ 利用nABnAnBnAB﹐ 得42nA3415﹐即nA23﹒ 故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒ 38. 因为x2x1x2x1﹐所以利用二项式定理将乘积展开﹐得

33

xx123A部分644444744444864444B4部分7444448321123232323C3xCxx1Cxx1Cx1﹒ 0123由于上式中A部分的各项次数均超过2次﹐因此全部展开式中x2的系数﹐就是B部分的展开式中的x2系数﹒ 又B部分的展开式为3x2x22x1x33x23x13x47x36x23x1﹐ 故全部展开式中x2的系数为6﹒

39. 因为x2x23x2x2﹐所以利用二项式定理将乘积展开得

3A部分B部分64444447444444864444447444444833321001232323232322xx2C0xx2C1xx2C2xx2C3xx2上述xx2展开式中

B部分各项次数低于4次﹐因此要计算展开式中x4的系数只要计算A部分各项展开式即可﹐又A部分展开式为

232C30xx2C1xx2

3021x63x53x4x33x42x3x22x63x59x413x36x2 故x4的系数为9﹒

40. 将240作质因子分解﹐得240243151﹒

因为240的正因子必为2a3b5c的形式﹐其中a0,1,2,3,4﹐b0,1﹐c0,1﹐ 所以a有5种选择﹐b有2种选择﹐c有2种选择﹒ 利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220个﹒

41. 依题意图示如下：

其中实线表电车路线﹐虚线表公交车路线﹒

因为电车与公交车路线各选一次﹐所以路线安排可分成以下二类： (1)先电车再公交车：利用乘法原理﹐得有122种路线﹒ (2)先公交车再电车：利用乘法原理﹐得有326种路线﹒ 由加法原理得知﹐共有268种路线安排﹒

42. 设A﹐B﹐C分别表示答对A﹐B﹐C题的人组成的集合﹒

由题意知nA15﹐nB19﹐nC20﹐nAB10﹐nBC12﹐nCA8﹐nABC3﹒

利用排容原理﹐得

nABCnAnBnCnABnBCnCA

nABC

15192010128327﹒ 故三题中至少答对一题者有27人﹒

43.

C分別表示從1到600的自然數當中的設集合A﹐B﹐4﹐5,6倍數所形成的集合﹐ nB120﹐nC100﹐nAB30﹐即nA150﹐nBC20﹐nCA50﹐nABC10 利用排容原理 nABCnAnBnCnABnBCnCA nABC﹐ 得nABC15012010030205010280﹒ 故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒

44. (1)an代表「第n个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发现图形每次均增

加1个黑色地砖与5个白色地砖﹐因此anan15﹐n2﹒

(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等 差数列﹐故an8n155n3﹒

(3)拼第95图所需用到白色地砖数a955953478﹒

45. (1)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆2人﹐ 再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐

642C86422C2C2C2 故总共有4!C82C2C2C22520种分法﹒

4!(2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐

再将3人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐

521C85213C3C1C1 故总共有2!2!C83C3C1C11120种分法﹒

2!2!nnnnnC1C2C3LCn46. 因为C0n2﹐

nnnnnnCnCLC2C21﹒ 所以C123n0即原式可改写为20002n13000﹐ 即20012n3001﹐ 得n11﹒

1147. (1)H39C911!55组﹒ 9!2!8(2)H93H6C628组﹒

3348. 因为去程有3个交通工具可以选择﹐住宿则有2个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由乘法原理得共有32318种安排法﹒

49. P10310!1098720种选法﹒ 7!50. 由题意知每个周末都有5种休闲活动可以选择﹒

利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625种休闲安排﹒