考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）
1. 下列函数中，是反比例函数的是( )A.y=
x2√–3B.y=−
3xC.y=
2x21xD.y=1−
2. 若2x=5y(x,y≠0),则下列式子中错误的是（ ）x5A.=y2y2B.=x5C.D.
3. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=90∘，AD=14，AB=4，CD=6，P是AD上的动点，连接BP，CP，若△PAB∼△CDP，则这样的点P共有（ ）x+y7
=x5x−y3=y2A.0个B.1个C.2个D.3个
4. 抛物线y=4x2+4x−2的顶点坐标是( )1A.(,−3)21B.(,3)21C.(−,−3)
21D.(−,3)
2
5. 如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE//BC的是（ ）
5. 如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE//BC的是（ ）
A.AD⋅DB＝AE⋅ECB.AD⋅AE＝BD⋅ECC.AD⋅CE＝AE⋅BDD.AD⋅BC＝AB⋅DE
6. 点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（ ）A.(3√–5−3)cmB.(9−3√–5)cmC.(6√–5−3)cm或(9−3√–5)cmD.(9−3√–5)cm或(3√–5−3)cm
7. 二次函数y=(x−5)2+7的最小值是( )A.7B.−7C.−5D.5
8. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE//BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则( )
ADAN
=ANAEBDMNB.=MNCEA.C.D.
9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为( )DNNE
=BMMCDNNE
=MCBMA.
B.
C.
D.
k
10. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=(x>0)的图
x′象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y=x的对称点C的坐标为(1,n)，若
△OAB的面积为3，则n的值为( )
A.
13B.1C.2D.3
二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）
11. （5分） 如图，在△ABC中，CE:EB=1:2，DE//AC，若△ABC的面积为1，则△AED的面积为________．
三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ）
12. 已知a:b:c=3:2:1，且2a−3b+c=10，求a+2b−3c的值．
13. 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
14. 如图，一张梯子共有5级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离相等．已知踏板最下面一级的踏板的长度A1B1=60cm，最上面一级踏板的长度A5B5=50cm，求踏板A2B2的长度．
m
15. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=．（其中mk≠0）图象交于A(−4,2)，B(2,n)两
x点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．16. 已知△ABC的三边长a，b，c满足条件a4−b4+(b2c2−a2c2)=0
1
17. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+=0,
2(1)若 x=1 是方程的一个解，写出a,b满足的关系式；(2)(1)当 b=a+1 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(3) 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a,b的值，并求出此时方程的根．
18. 某企业要生产一批产品，按要求必须在15天内完成，已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足函数关系y=2x+18(0≤x≤15) .经调研，工人甲生产该产品的成本p(元/件)与第x天的函数关系图像如图所示.
，试判断△ABC的形状．
(1)求p与x之间的函数表达式；
(2)若工人甲第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出在第几天时，利润最大，最
大利润是多少？
19. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
(1)求截止到几月利润可达到30万元；
(1)求截止到几月利润可达到30万元；
(2) 求第8个月公司所获利润是多少万元？
20. 如图，在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE=90∘，点P为射线BD，CE的交点．(1)问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．求证①∠ABD=∠ACE；②求∠BPC的度数．(2)猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30∘，则(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)拓展延伸：在(1)的条件中，若AB=2，AD=1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90∘时，直接写出PB的长．
参考答案与试题解析
2022-2023学年安徽省淮北市某校初三（上）期中考试数学试
卷试卷
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1.
【答案】
B
【考点】反比例函数的定义【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=【解答】
解：A，y与x是正比例函数关系，故本选项错误；
k
(k≠0)，即可判断各函数类型是否符合题意．x√–3
B，y=−，符合反比例函数解析式的一般形式，故本选项正确；
3xC，y与x2是反比例函数，故本选项错误；
1x−1
D，y=1−=，不符合反比例函数解析式的一般形式，故本选项错误．
xx故选B．2.
【答案】
D
【考点】比例的性质【解析】
根据比例的性质，可得答案．【解答】
解：A.原式两边都除以2y，故A正确；B.原式两边都除以5x，故B正确；
y2x+y7C.=，=，故C正确；x5x5x5x−y5−23D.=，==，故D错误；y2y22故选D．3.
【答案】
C
【考点】相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形的性质即刻得到结论．【解答】
解：设AP=x，
则PD=AD−AP=14−x∵△PAB∼△CDP，
，
PAAB
=，CDPDx4即=，614−x解得x1=2，x2=12，所以当AP=2或12时，△PAB∼△CDP，即这样的P点有2个．故选C．4.
【答案】
C
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】
已知抛物线解析式为一般式，利用公式法可求顶点坐标，也可以用配方法求解．【解答】
解：利用配方法：y=4x2+4x−2
12
=4(x+)−3，
241
∴抛物线的顶点坐标为(−，−3).
2故选C.5.
1
=4(x2+x+)−1−2
【答案】
C
【考点】
平行线分线段成比例【解析】
根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．【解答】
∵AD⋅CE＝AE⋅BD，
ADBD
=，AECE∴DE//BC，6.
∴【答案】
D
【考点】黄金分割【解析】
√–5−13−√–5
根据黄金分割点的定义，知BC可能是较长线段，也可能是较短线段，则BC=AB或BC=AB，将AB=6cm代
22入计算即可．【解答】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，
√–5−1
∴BC=AB=3√–5−3(cm)
2–3−√5或BC=AB=9−3√–5(cm)
2故选D．7.
【答案】
，．
A
【考点】二次函数的最值
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】
根据二次函数的性质求解．【解答】
解：∵y=(x−5)2+7，∴当x=5时，y有最小值7．故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质与判定【解析】
先证明△ADN∽△ABM得到行判断．【解答】
解：∵DN//BM，∴△ADN∼△ABM，
DNANNEANDNNE
=，再证明△ANE∽△AMC得到=，则=，从而可对各选项进BMAMMCAMBMMCDNAN
=.BMAM∵NE//MC，
∴△ANE∼△AMC，NEAN∴=，MCAM∴
DNNE
DNNE
=．BMMC故选C.9.
∴【答案】
B
【考点】二次函数的图象一次函数的图象【解析】
本题形数结合，一次函数y=ax+b，可判断a、c的符号；根据二次函数y=a(x+c)2的图象位置，可得a，c．经历：图象位置-系数符号-图象位置．【解答】
解：A，函数y=ax+c中，a>0，c>0，y=a(x+c)2中，a<0，c<0，故错误；B，函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c)2中，a<0，c>0，故正确；C，函数y=ax+c中，a>0，c<0，y=a(x+c)2中，a>0，c>0，故错误；D，函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c)2中，a>0，c<0，故错误．故选B．
10.
【答案】
D
【考点】三角形的面积
反比例函数图象上点的坐标特征【解析】
根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．【解答】
解：∵点C关于直线y=x的对称点C′的坐标为(1,n)(n≠1)，∴C(n,1)，
∴OA=n，AC=1，∴AB=2AC=2.∵△OAB的面积为3，∴n×2=3，解得，n=3.故选D.
12二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）11.
【答案】
29【考点】
三角形的面积
相似三角形的性质与判定【解析】
根据相似三角形对应边的平方比即为其对应的面积比，依次便可求解．【解答】
解：∵ CE:EB=1:2 ，设CE=k，则EB=2k，∵DE//AC，而BE:BC=2k:3k=2:3 ，
S△BDE224∴=()，又S△ABC=1，∴S△BDE=，
39S△ABC
ADCE1
∵DE//AC，∴==，
BDBE2SAD1∴△ADE==，S△BDEBD212
则S△ADE=S△BDE=．
292
故答案为： ．
9三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ）12.
【答案】
解：设a=3k，b=2k，c=k，又2a−3b+c=10，即6k−6k+k=10，解得k=10，
∴a=30，b=20，c=10，∴a+2b−3c=30+40−30=40【考点】比例的性质【解析】无【解答】
解：设a=3k，b=2k，c=k，又2a−3b+c=10，即6k−6k+k=10，解得k=10，
∴a=30，b=20，c=10，∴a+2b−3c=30+40−30=40
．
．
13.
【答案】
解：(1)设每件商品的售价上涨x元（x为整数），则每件商品的利润为：(60−50+x)元，总销量为：(200−10x)件，商品利润为：
y=(60−50+x)(200−10x)，=(10+x)(200−10x)，=−10x2+100x+2000．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0 =−10(2−10x)+2000 =−10(x2−10x)+2000，=−10(x−5)2+2250． 故当x=5时，最大月利润y=2250元．这时售价为60+5=65（元）． 【考点】二次函数的应用二次函数的最值【解析】 （1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式．（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5时得出y的最大值．【解答】 解：(1)设每件商品的售价上涨x元（x为整数），则每件商品的利润为：(60−50+x)元，总销量为：(200−10x)件，商品利润为： y=(60−50+x)(200−10x)，=(10+x)(200−10x)，=−10x2+100x+2000． ∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0 故当x=5时，最大月利润y=2250元．这时售价为60+5=65（元）． 14. 【答案】 解：如图，过点A5作A5D//B5B1交A2B2点C，交A1B1于点D， ∴四边形A5DB1B5和四边形A5CB2B5均为平行四边形，∴DB1=CB2=A5B5=50cm，∴A1D=A1B1−A1D=60−50=10cm，∵A2C//A1D， ∴△A5A2C∼△A5A1D， ACAA∴2=52， A1DA5A1AC3即2=， 104解得A2C=7.5， ∴A2B2=A2C+CB2=57.5cm.即踏板A2B2的长度为57.5cm. 【考点】 相似三角形的性质与判定平行线分线段成比例【解析】 暂无【解答】 解：如图，过点A5作A5D//B5B1交A2B2点C，交A1B1于点D， ∴四边形A5DB1B5和四边形A5CB2B5均为平行四边形，∴DB1=CB2=A5B5=50cm，∴A1D=A1B1−A1D=60−50=10cm，∵A2C//A1D， ∴△A5A2C∼△A5A1D， ACAA∴2=52， A1DA5A1AC3即2=， 104解得A2C=7.5， ∴A2B2=A2C+CB2=57.5cm.即踏板A2B2的长度为57.5cm.15. 【答案】 m (mk≠0)图象交于A(−4,2)，B(2,n)两点．xm ∴将点A(−4,2)代入反比例函数的解析式得2=， −48 解得m=−8，即y=−， x令x=2，解得n=−4， 将点A，B代入一次函数解析式， 2=−4k+b,∴{ −4=2k+b,k=−1,解得{ b=−2, 故一次函数的解析式为y=−x−2.(2)根据两函数的图象可知： 当x<−4或0 待定系数法求一次函数解析式待定系数法求反比例函数解析式反比例函数与一次函数的综合【解析】 (1)把A点坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，即可解得k、b、m、n的值； (2)求出一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABO的面积；(3)根据图象观察，当x<−4或0 m (mk≠0)图象交于A(−4,2)，B(2,n)两点．xm ∴将点A(−4,2)代入反比例函数的解析式得2=， −48 解得m=−8，即y=−， x令x=2，解得n=−4， 解：(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y= 将点A，B代入一次函数解析式， 2=−4k+b, −4=2k+b,k=−1,解得{ b=−2, ∴{ 故一次函数的解析式为y=−x−2.(2)根据两函数的图象可知： 当x<−4或0 【答案】 解：由题可知，(a2−b2)(a2+b2)−c2(a2−b2)=0，即(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，22222∴a−b=0或a+b−c=0，①当a2−b2=0时，即a=b，△ABC为等腰三角形； ②当a2+b2−c2=0时，即a2+b2=c2，△ABC的形状为直角三角形； ③当a2−b2=0，a2+b2−c2=0同时成立时，即a=b，a2+b2=c2，△ABC为等腰直角三角形. 综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．【考点】 因式分解-提公因式法等腰三角形的判定等腰直角三角形勾股定理的逆定理【解析】 运用分组分解法，将所给等式的左边因式分解，最后判断即可解决问题．【解答】 解：由题可知，(a2−b2)(a2+b2)−c2(a2−b2)=0， 22222即(a−b)(a+b−c)=0，22222∴a−b=0或a+b−c=0，①当a2−b2=0时，即a=b，△ABC为等腰三角形； ②当a2+b2−c2=0时，即a2+b2=c2，△ABC的形状为直角三角形； ③当a2−b2=0，a2+b2−c2=0同时成立时，即a=b，a2+b2=c2，△ABC为等腰直角三角形. 综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 17. 【答案】 解：(1)把x=1代入方程得，a+b+解得，a+b=− 1 =0，21；2， 1 (2)Δ=−b2−4a×=b2−2a 2∵b=a+1， ∴Δ=(a+1)2−2a=a2+1≥1>0∴方程有两个不相等的实数根； ， (3)∵方程有两个相等的实数根， ∴b2−2a=0， 当a=2，b=2时，原方程可化为：x2+x+ 1 4=0，(x+1)2 2=0，∴x2=x2=−12.【考点】 一元二次方程的解根的判别式 解一元二次方程-配方法【解析】 （1）把x=1代入原方程中即可得到答案； （2）利用根的判别式得到a2+1>0，进而得到答案； （3）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2−2a=0，设b=2，a=2，方程变形为x2+x+1 4=0【解答】 解：(1)把x=1代入方程得，a+b+ 1 2=0，解得，a+b=− 1 2；；(2)Δ=−b2−4a×1 =b2−2a， ∵b=a+1，2∴Δ=(a+1)2−2a=a2+1≥1>0 ， ∴方程有两个不相等的实数根；(3)∵方程有两个相等的实数根，∴b2−2a=0， 当a=2，b=2时，原方程可化为：x2+x+ 1 4=0，(x+12)2=0， ∴x2=x2=−1 . 18. 2【答案】 解：(1)当0≤x≤5时，p=40，当5 kb==1，35， 则p=x+35.综上，p={ 40(0≤x≤5)，x+35(5 ， 当x=5时，w取得最大值，最大值为560元； 当5 ，然后解方程即可．∴当x=8时，w取得最大值，最大值为578元.综上所述，w={ 40x+360(0≤x≤5)， −2x2+32x+450(5 待定系数法求一次函数解析式二次函数的应用二次函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】 解：(1)当0≤x≤5时，p=40，当5 综上，p={ 40(0≤x≤5)，x+35(5 ， 当x=5时，w取得最大值，最大值为560元； 当5 −2x2+32x+450(5 19. 【答案】 解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2,−2)，故可设其函数关系式为：S=a(t−2)2−2．∵所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得： a(0−2)21−2=0，解得a= 2．∴所求函数关系式为：S=1(t−2)2−2 ，即S=1 t2−2t． 把S=30代入S=1 222(t−2)2−2， 得1 (t−2)2−2=30．解得2t1=10，t2=−6（舍去）． 答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．(2)把t=7代入关系式， 得S=1 ×72−2×7=10.5， 把t=82代入关系式， =1 ×−2×8=16 ， 12 ×8−2×8=16，216−10.5=5.5， 答：第8个月公司所获利是5.5万元． 得S=【考点】二次函数的应用【解析】 （2）把S=30代入累计利润S=t2−2t的函数关系式里，求得月份； （3）分别t=7，t=8，代入函数解析S=t2−2t，再把总利润相减就可得出．【解答】 解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2,−2)，故可设其函数关系式为：S=a(t−2)2−2．∵所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得： a(0−2)2−2=0，解得a= 121211 ，即S=t2−2t． 221 把S=30代入S=(t−2)2−2， 21 得(t−2)2−2=30．2解得t1=10，t2=−6（舍去）． 答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．（3）把t=7代入关系式， 1 得S=×72−2×7=10.5， 2把t=8代入关系式， 1 得S=×82−2×8=16， 216−10.5=5.5， 答：第8个月公司所获利是5.5万元．20. ∴所求函数关系式为：S=(t−2)2−2【答案】 1．2(1)证明：①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE， 又∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠DAB=∠CAE， ∴△ADB≅△AEC(SAS)，∴∠ABD=∠ACE， ②∵∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP=180∘−∠ABC−(∠BCP+∠ACE)=180∘−45∘−45∘=90∘． (2)解：(1)中结论成立，理由如下：在Rt△ABC中，∠ABC=30∘，∴AB=√–3AC， 在Rt△ADE中， ∠ADE=30∘,∴AD=√–3AE，ADAE∴=，ABEC∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∼△AEC，∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP=180∘−30∘−(∠BCP+∠ACE)， ∴∠BPC=90∘． (3)解：①当点E在AB上时，BE=AB−AE=1 ， ∵∠EAC=90∘， −−−−−−−−−− ∴CE=√AE2+AC2=√–5，同(1)可证△ADB≅△AEC，∴∠DBA=∠ECA，又∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∼△AEC，即 PBBE =，ACCE2√–5PB1 ∴=–，∴PB=． 2√55②当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=3 ， ∵∠EAC=90∘，∴CE=√5，同(1)可证△ADB≅△AEC，∴∠DBA=∠ECA，∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∼△AEC，∴ – PBBEPB3 =，即=–， 2√5ACCE–6√5 ∴PB=， 56√–52√–5 综上所述，PB的长为或． 55【考点】等腰直角三角形全等三角形的性质与判定三角形内角和定理相似三角形的性质与判定旋转的性质【解析】 (1)①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据“SAS”可证明 △ADB≅△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；②由三角形内角和定理可求∠BPC的度数；(2)先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论； (3)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行 证明即可．【解答】 (1)证明：①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE， 又∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠DAB=∠CAE， ∴△ADB≅△AEC(SAS)，∴∠ABD=∠ACE， ②∵∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP=180∘−∠ABC−(∠BCP+∠ACE)=180∘−45∘−45∘=90∘． (2)解：(1)中结论成立，理由如下：在Rt△ABC中，∠ABC=30∘，∴AB=√–3AC， 在Rt△ADE中， ∠ADE=30∘,∴AD=√–3AE，∴ ADAE =，ABEC∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∼△AEC，∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP=180∘−30∘−(∠BCP+∠ACE)，∴∠BPC=90∘． (3)解：①当点E在AB上时，BE=AB−AE=1 ， ∵∠EAC=90∘， −−−−−−−−−− ∴CE=√AE2+AC2=√–5，同(1)可证△ADB≅△AEC，∴∠DBA=∠ECA，又∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∼△AEC，即 PBBE =，ACCE2√–5PB1 ∴=–，∴PB=． 2√55②当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=3 ， ∵∠EAC=90∘，∴CE=√–5，同(1)可证△ADB≅△AEC，∴∠DBA=∠ECA，∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∼△AEC，∴ PBBEPB3 =，即=–， 2√5ACCE–6√5 ∴PB=， 56√–52√–5 综上所述，PB的长为或． 55 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容