分布列期望方差知识

一． 离散型随机变量：若随机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，这样的随机变

量叫做离散型随机变量；若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。 二． 离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 1． 设离散型随机变量可能的取值为x1,x2,L,xi,L，取每一个值xii1,2,L的概率为

pi，列表如下：

 x1 x2 L xi L

P p1 p2 L pi L

叫做随机变量的概率分布，简称分布列。 有如下性质：

（1）0pi1i1,2,L

（2）p1p2LpiL1

2．数学期望：Ex1p1x2p2LxipiL叫做离散型随机变量的数学期望，简称期望。反映离散型随机变量取值的平均水平。 若ab，则EaEb。

3．方差：Dx1Ep1x2Ep2LxiEpiL叫做离散型随机变量的方差，又叫做均方差。D叫做离散型随机变量的标准差，记作 若ab，则Da2D。

方差反映随机变量的取值与平均值的离散情况。即稳定性。 三．几个典型的分布

1．二项分布：n次独立重复试验中，事件A发生的次数:Bn,p，p是一次试验A发生的概率，设q1p。则

kknkPkbk;n,pPnkCnpqk0,1,L,n

222 P 0 00nCnpq 1 1Cnpqn1 L L k kknkCnpq L L n nn0Cnpq 期望Enp，方差Dnpq。 2、几何分布：独立重复试验中事件A第一次发生时的试验次数服从几何分布，p是一次试验A发生的概率，设q1p。

Pkqk1pk1,2,LL

 P 1 p 2 qp L k qk1p L L L 期望Eq1，方差D2。 pp3．两点分布：一次实验中，事件A发生记为1，不发生记为0，p是一次试验A发生的概率，

设q1p。

则

 1 0

p q P

期望Ep，方差Dpq。 练习

1．已知随机变量:Bn,p，且E6,D3，则b1;n,p . 12．若随机变量的分布列是：Pm,Pna.且E2,则D的最小值是 . 33．若随机变量满足Pkgk,p，D2，21，则

E ，D 。

4．随机变量的分布列是

 1 3 5

P 0．4 0．1 x

则的标准差 。

练习：甲、乙两个篮球队进行比赛，每场比赛均不出现平局，且若一个队胜四场则比赛结束，假设甲、乙两个篮球队在每场比赛获胜的概率都是（1）求比赛场数的概率分布和数学期望；

（2）如果比赛场地是租借的，无论打多少场比赛场地租金一共200元，且每比赛一场追加服务费32元，那么举行一次这样的比赛，大约花费多少元？

练习：在1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个自然数中任取3个数.

(1) 求这3个数中恰有一个是偶数的概率;

(2) 记是这3个数中两数相邻的组数(如若取出的数为123,则有两组相邻的数12,23,则

2),求随机变量的分布列和数学期望.

讨论：某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现在有两个项目供选择。

项目1：新能源汽车.据市场调研，投资在该项目上，到年底可能获得30﹪，可能亏损15﹪，72且这两种情况发生的概率分别为和。

991。 2项目二：通信设备.据市场调研，投资在该项目上，到年底可能获得50﹪，可能亏损30﹪，311也可能不赚不赔，且这三种情况发生的概率分别为、和。

5315（1）请你为这家公司选择一个投资项目；（2）若市场预期不变，该投资公司按你的建议长

期投资（每一年的利润和本金继续用作下一年的投资）问大约在那一年年底，投资公司的这项投资总资产（利润与本金的和）可以翻一翻？lg20.3010,lg30.4771

讨论：两个相同的正四棱锥组成如图的几何体，可以放在棱长为3的正方体内，使得正四棱锥的底面与正方体的一个表面平行，各顶点都在正方体的表面上，若这个几何体的体积取正整数,

(1) 这个几何体的体积有几个?

(2) 从这些体积数值中随机地一一取出,直到确认出所有偶数值时停止,设取体积数值的次数

为,求的分布列和数学期望.