三次方程和四次方程求根公式

一、卡丹方法（求解三次方程）

卡丹方法，又称卡丹公式，用于解三次方程。设三次方程为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。

1. 将三次方程进行配方，得到一个完全立方的形式，即将bx^2 + cx转化为一个平方。

2. 平方完成后，将方程表示为一个完全立方，即将bx^2 + cx表示为(y + p)^3的形式。

3.计算出p的值，并将y表示为x+q的形式。

4.将计算得到的p和q的值代入原方程，同时考虑到y+p=x+q，得到一个关于x的二次方程。

5.解这个二次方程，得到两个解。

6.将解代回y=x+q和y+p=x+q，得到x的两个值。

7.解得的两个x值即为原三次方程的两个实数根，余下的一个虚根可利用降次法进一步确认。 二、胡克定理（求解四次方程）

胡克定理，又称为迪利克雷定理，用于解四次方程。设四次方程为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。

1.先观察方程是否能够进行因式分解，即是否可以因式分解成两个二次因式的乘积，如(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)=0。若能够进行因式分解，则直接求得解。

2.若无法进行因式分解，通过变量代换，令x=y-(b/4a)。这个变量代换可以将四次方程转化为一个简化了常数项的新方程。

3. 将变量代换后得到的方程进行化简，可以得到新的形式为y^4 + py^2 + qy + r = 0的方程。

4.如果新方程的前三项的系数满足特定的关系，即p^2-4r<0和q^2-4p^3-27r^2>0，则求出新方程的一个实数根z。

5.将这个实数根代入原方程，并求解出两个实数根，同时也可以得到两个复数根。

6.综上所述，根据实数根和复数根的不同情况，利用解得的z和降次法可以得出四次方程的所有根。

卡丹方法和胡克定理虽然给出了求解三次方程和四次方程的公式，但它们的应用范围不如二次方程的公式广泛。在实际问题中，一般采用数值方法或者计算机算法求解高阶方程的根。