三次方程和四次方程求根公式

要解决三次方程和四次方程，首先需要了解它们的求根公式。 三次方程的一般形式为：ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c、d为实数，且a ≠ 0。

现在，我们来推导三次方程的求根公式。

假设三次方程的一个解为x1，那么可以将该三次方程表示为(x – x1)(bx² + cx + d) = 0。

因此，我们可以将bx² + cx + d进行因式分解，得到bx² + cx + d = (x – x2)(x – x3)。

我们可以将此方程展开，得到bx² + cx + d = x² – (x2 + x3)x + x2x3

通过对比系数，可以得到以下等式：b=-(x2+x3)，c=x2x3，d=-x1(x2+x3)。

现在，我们来求出x2和x3的值。

我们可以将三次方程的原始形式进行化简，得到：x³+(b/a)x²+(c/a)x+(d/a)=0。

令y = x + (b/3a)，将原方程变形为：y³ + py + q = 0，其中p = (3ac – b²)/(3a²)，q = (2b³ – 9abc + 27a²d)/(27a³)。

我们可以通过柯西的定理(Cauchy's theorem)来求解这个方程。 首先，我们假设y = u + v，将方程变形为：u³ + v³ + (3uv + p)(u + v) + q = 0。

我们可以选择u和v的值使得u³ + v³ = -q，并且3uv + p = 0。 通过观察，我们可以选择u=(-q/2)^(1/3)和v=-p/(3u)。

现在，我们可以求解y=u+v，然后代回到y=x+(b/3a)中，即可得到三次方程的三个解。

接下来，让我们来讨论四次方程。

四次方程的一般形式为：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0，其中a、b、c、d、e为实数，且a ≠ 0。

要求解四次方程，我们可以使用费拉里公式(Ferrari's formula)。 我们首先通过配方将四次方程化为二次形式。

假设四次方程的一个解为x1，那么可以将该四次方程表示为(x – x1)(fx³ + gx² + hx + i) = 0。

因此，我们可以将fx³ + gx² + hx + i进行因式分解，得到fx³ + gx² + hx + i = (x – x2)(x – x3)(x – x4)。

我们可以将此方程展开，得到fx³ + gx² + hx + i = x³ – (x2 + x3 + x4)x² + (x2x3 + x2x4 + x3x4)x – x2x3x4

通过对比系数，可以得到以下等式：f=-(x2+x3+x4)，g=x2x3+x2x4+x3x4，h=-x2x3x4，i=x1(x2+x3+x4)。

现在，我们来求出x2、x3和x4的值。

我们可以将四次方程的原始形式进行化简，得到：x⁴+(b/a)x³+(c/a)x²+(d/a)x+(e/a)=0。

令y = x + (b/4a)，将原方程变形为：y⁴ + py² + qy + r = 0，其中p = (8ac – 3b²)/(8a²)，q = (b³ – 4abc + 8a²d)/(8a³)，r = (16a²bd – 3b⁴ – 16a³cd)/(256a⁴)。

我们可以通过导出一个新的变量z来简化方程：y=w–(p/4w)，其中w=z–(q/2z)。

然后，我们可以将方程转化为w⁴ + rw² – (q²/4) = 0。

我们可以通过求解这个方程，得到w的值。然后，我们将w的值代回到y=w–(p/4w)中，即可求得y的值。

最后，我们将y的值代回到y=x+(b/4a)中，即可得到四次方程的四个解。

综上所述，我们推导出了三次方程和四次方程的求根公式。