考研数学二（微分中值定理及其应用）-试卷2 (总分64, 做题时间90分钟) 1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1.
曲线y＝f(χ)＝－A 1个． B 2个． C 3个． D 4个． 2.
设函数f(χ)在χ＝0的某邻域内连续，且满足 A 是f(χ)的驻点，且为极大值点． B 是f(χ)的驻点，且为极小值点． C 是f(χ)的驻点，但不是极值点． D 不是f(χ)的驻点． 3.
设f(χ)分别满足f(χ)在χ＝0邻域二阶可导，f′(0)＝0，且( (χ)－χf′(χ)＝e χ －1，则下列说法正确的是
SSS_SINGLE_SELSSS_SINGLE_SEL(χ－1)ln｜χ－1｜的拐点有
SSS_SINGLE_SEL＝－1，则χ＝0
－1)f〞
A f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))不是曲线y＝f(χ)的拐点． B f(0)是f(χ)的极小值．
C (0，f(0))是曲线y＝f(χ)的拐点． D f(0)是f(χ)的极大值． 2. 填空题 1. 曲线y＝ (χ 2 －7)(－∞＜χ＜＋∞)的拐点是______． SSS_FILL 2. 数列1，，…的最大项为_______．
SSS_FILL3. 解答题 解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.
证明：当χ＞1时0＜lnχ＋ SSS_TEXT_QUSTI (χ－1) 3 ． 2. 当χ≥0，证明，其中n为自然数． SSS_TEXT_QUSTI 3. 求证：当χ＞0时不等式(1＋χ)ln 2 (1＋χ)＜χ 2 成立．
SSS_TEXT_QUSTI 4. 求证：χ∈(0，1)时． SSS_TEXT_QUSTI ∈(0，＋5. 设f(χ)在[0，＋∞)可导，且f(0)＝0．若f′(χ)＞－f(χ)，∞)，求证：f(χ)＞0，χ∈(0，＋∞)． SSS_TEXT_QUSTI ≤χ p ＋(1－χ) p ≤1，p＞1；1≤χ p ＋(1－
6. 求证：χ∈[0，1]时， χ) p ≤ ，0＜p＜1． SSS_TEXT_QUSTI 7. 设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f′(χ)｜＜1，又f(0)＝f(1)，证明：对于 ．
χ 1 ，χ 2 ∈[0，1]，有｜f(χ 1 )－f(χ 2 )｜＜
SSS_TEXT_QUSTI 8. 求证 SSS_TEXT_QUSTI 9. 设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫ 0 1 f(χ)dχ] 2 ＞∫ 0 1 f 3 (χ)dχ．
SSS_TEXT_QUSTI χ 1 ，χ 2 ∈(a，b)，χ 1 ≠χ 2 ，
χ∈(a，b))，有 f[tχ 1 ＋(1
(Ⅱ)若f〞
10. 设f(χ)在(a，b)二阶可导， t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f〞(χ)＞0( －t 2 )χ 2 ]＜tf(χ 1 )＋(1－t)f(χ 2 )， (4．6) 特别有 (χ)＜0( χ∈(a，b))，有 f[tχ 1 ＋(1－t)χ 2 ]＞tf(χ 1 )＋(1－
t)f(χ 2 )， (4．7) 特别有 SSS_TEXT_QUSTI 11. 设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式： (Ⅰ)a p ＋b p ＞2 1-p (a＋b) p (P＞1)； (Ⅱ)a p ＋b p ＜2 1-p (a＋b) p (0＜P＜1)．
SSS_TEXT_QUSTI ＝α＞0，求证：
12. 设f(χ)在(－∞，a)内可导，f′(χ)＝β＜0，f(χ)在(－∞，a)内至少有一个零点． SSS_TEXT_QUSTI 13. 设f(χ)在[a，b]上可导，且f′ + (a)与f′ - (b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝0． SSS_TEXT_QUSTI 14.
设f(χ)在[a，b]上可导，且f′ + (a)＞0，f′ - (b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f′(χ)在(a，b)至少有两个零点． SSS_TEXT_QUSTI ＝A．求证：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝
15. 设f(χ)在(a，b)内可导，且0． SSS_TEXT_QUSTI 16. 2
设f(χ)在[0，1]三阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．设F(χ)＝χ f(χ)，求证：在(0，1)内存在c．使得F″′(c)＝0． SSS_TEXT_QUSTI 17. 设a，b，c为实数，求证：曲线y＝e χ 与y＝aχ 2 ＋bχ＋c的交点不超过三个． SSS_TEXT_QUSTI 18. 设f(χ)＝ (a k coskχ＋b k sinkχ)，其中口a k ，b k (k＝1，2，…，n)为常数．证明：(Ⅰ)f(χ)在[0，2π)必有两个相异的零点；(Ⅱ)f (m) (χ)在[0，2π)也必有两个相异的零点． SSS_TEXT_QUSTI19. 设f(χ)在[0，1]上连续，且满足∫ 0 1 f(χ)dχ＝0，∫ 0 1 χf(χ)dχ＝0，求证：f(χ)在(0，1)内至少存在两个零点． SSS_TEXT_QUSTI ξ∈(χ 1 ，χ
20. 设f(χ)在[χ 1 ，χ 2 ]可导，0＜χ 1 ＜χ 2 ，证明： 2 )使得 ＝f(ξ)－ξf′(ξ)． SSS_TEXT_QUSTI21.
设f(χ)在[0．1]二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0，试证：f〞(ξ)＝f′(ξ)． SSS_TEXT_QUSTIξ∈(0，1)使得
χ 0 ∈(a，b)使得 又f(χ)＞0(＜
22. 设f(χ)在(a，b)内可导，且 0)， f(χ)＜0(＞0)， f(χ)＜0(＞0)(如图4．13)，求证：f(χ)在
(a，b)恰有两个零点． SSS_TEXT_QUSTI 23. 求证：方程lnχ＝在(0，＋∞)内只有两个不同的实根．
SSS_TEXT_QUSTI 24. 就a的不同取值情况，确定方程lnχ＝χ a (a＞0)实根的个数．
SSS_TEXT_QUSTI ξ，η∈(a，25. 设f(χ)在[a，b]连续，在(a，b)可导，又b＞a＞0，求证：b)使得f′(ξ)＝ηf′(η)SSS_TEXT_QUSTI．
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