三线摆测转动惯量

教 学 目 的 1、了解三线摆原理，并会用它测定圆盘、圆环绕对称轴的转动惯量；

2、学会秒表、游标卡尺等测量工具的正确使用方法，掌握测周期的方法； 3、加深对转动惯量概念的理解。

重 难 点 1、理解三线摆测转动惯量的原理；

2、掌握正确测三线摆振动周期的方法。

教 学 方 法 讲授、讨论、实验演示相结合 学 时 3个学时

一、前言

转动惯量是刚体转动惯性的量度，它的大小与物体的质量及其分布和转轴的位置 有关对质量分布均匀、形状规则的物体，通过简单的外形尺寸和质量的测量，就可以 测出其绕定轴的转动惯量。但对质量分布不均匀、外形不规则的物体，通常要用实验 的方法来测定其转动惯量。

三线扭摆法是测量转动惯量的优点是：仪器简单，操作方便、精度较高。 二、实验仪器

三线摆仪，游标卡尺，钢直尺，秒表，水准仪 三、实验原理

1、原理简述：将三线摆绕其中心的竖直轴扭转一个小小的角度，在悬线张力的作用 下，圆盘在一确定的平衡位置左右往复扭动，圆盘的振动周期与其转动惯量有关。悬 挂物体的转动惯量不同，测出的转动周期就不同。测出与圆盘的振动周期及其它有关 量，就能通过转动惯量的计算公式算出物体的转动惯量。 2、转动惯量实验公式推导

如图，将盘转动一个小角，其位置升高为h，增加的势能为mgh；当盘反向转回平衡 位置时，势能E0，此时，角速度最大，圆盘具有转动动能：

EJ002/2

则根据机械能守恒有：

mghJ002/2 （1）

上式中的m0为圆盘的质量，0为盘过平衡位置时的瞬时角速度，J0为盘绕中心轴的

转动惯量。

当圆盘扭转的角位移很小时，视圆盘运动为简谐振动，角位移与时间t的关系为： 0sin(2t/T0) (2)

d220cos(t) dtT0T020 T0经过平衡位置时最大角速度为

将0代入（１）式整理后得

0m0gT02J0h 2202式中的h是下盘角位移最大时重心上升的高度。

由图可见，下盘在最大角位移0时，上盘B点的投影点由C点变为D点，即

hCDBCBD，而 BC2AB2AC2AB2(Rr)2 BD2A'B2A'D2 A'B2(R2r22Rrcos0) 考虑到ABA'B，BCBD2H 所以

BC2BD2Rr(1cos0)RrhBCBD2sin20 BCBDHH2因为0很小，用近似公式sin00，有

Rr02h 2H将h代入式，即得到圆盘绕OO'轴转动的实验公式

J0m0gRr2T0 42H

设待测圆环对OO'轴的转动惯量为J。圆盘上放置质量为m的圆环后，测出系统的转 动周期T，则盘、环总的转动惯量为

J0J(m0m)gRr2T 24H上式减去式，便得到待测圆环的转动惯量的实验公式

J

四、实验内容及步骤

gRr22[(mm)TmT000] 24H1、调节三线摆立柱脚底螺钉，观察重锤，从立柱两侧观察锤线应与立柱平行，此时 立柱已铅直。

2、置水准器于下圆盘中心，调节三悬线长度，使圆盘水平。

3、轻轻启动上盘，使动盘在悬线扭力的作用下作扭转运动，并使某一根悬线已小镜 的中心线为平衡位置扭动。

4、待动盘扭动稳定，夹角约5度（相当于盘上一点的直线运动距离约8mm），在悬线 经过平衡位置的瞬间按下秒表。然后悬线以相同方向每经过平衡位置一次，数一个周 期，数到50个周期时按停秒表，记下摆动50个周期的时间，重复5次。

5、用钢尺从五个不同位置测量定动盘之间的间距五次。

6、圆环置于圆盘正中，重复步骤3、4、5。

7、用游标卡尺从不同方向测圆环内外径个5次（用于计算圆环转动惯量的理论值） 8、用游标卡尺从不同方向测圆盘直径5次（用于计算圆盘转动惯量的理论值） 9、用游标卡尺分别量定、动盘悬线孔间距各5次（由此组数据间接求出定、动盘过 悬点的圆的半径r和R。

10、分别记下圆盘、圆环的给定质量m0、m。 五、数据表格及数据处理

圆盘、圆环转动周期T0、T 全摆动次数 50（圆盘） 1 2 3 4 5 1 50（圆盘加圆环） 2 3 4 5 圆盘转动周期T0的A类不确定度分量：

UAST0 测量次数 T50(s) Tli(s) 平均值（Ti） 81.60 81.60 81.70 81.70 81.90 79.55 79.60 79.50 79.70 79.50 1.632 1.632 1.634 1.634 1.638 1.591 1.592 1.590 1.594 1.590 T01.634 (s) T1.591 (s) (T1iT0)2/5(51)7.746104s

T0的B类不确定度

UB11yi6.667104s 503（yi为秒表最小分度值）

合成不确定度为： UT0UA2UB20.001 (s) 测量结果 T0T0UT01.6340.001 (s) 同理可得 TTUT1.5910.001 (s)

上、下盘间距H与孔间距阿a、b

测量次数 上、下盘间距H(mm) 上盘孔间距a(mm) 下盘孔间距b(mm) 1 478.2 53.40 2 478.0 53.28 3 478.8 53.40 4 478.5 53.26 5 478.0 53.32 平均值 H478.3 mm a53.33 mm

139.54 139.70 139.22 139.14 139.28 b139.38 mm r(mm) R(mm) r33a R33b H、R、r三量的A类不确定度分量分别为

Sn(HiH)

5(51)0.16 mm 3Sb0.02 mm 33Sa0.06 mm 31Sb0.3 mm SRSa0.10 mm Sr

（yi1mm）UByi ，R、r H、R、r的B类不确定分量，H用钢尺测得： 3用游标卡尺测得： 31 (yi0.02mm) UB

33yi

UH0.33mm UR0.01mm Ur0.01mm 对圆盘质量m0（已给定），取Um00.02g

测量结果 HHUH478.30.3mm

RRUR80.470.01mm rrUr30.790.01mm

圆盘直径D0与圆环内、外径D1、D2

测量次数 1 2 3 4 5 平 半径 均 167.7圆盘直径167.80 167.78 167.78 167.78 167.80 9 D0(mm) 136.7圆环外径136.70 136.68 136.74 136.72 136.72 R083.90mm R68.36mm6

计算圆盘、圆环转动惯量的；理论值J0'、J'：

J0'm0R02/22.140103kgm2

J'm(R12R22)/20.928103kgm2

计算圆盘、圆环转动惯量的实验值J0、J：

JJ0m0gRr2T2.085103kgm2 24H'22gRr32[(mm)TmT]0.91410kgm 00024H圆盘转动惯量的不确定度：

UJ0(

URR)2(Urr)24(UT0T0)2(UHH)2 U5.28106kgm2

实验结果 J0J0U(2.0850.005)103kgm2 测量值与理论值之间的百分误差： 圆盘： 圆环：

六、注意事项

1、提醒学生谨防机械秒表摔到地上。

2、使用游标卡尺要注意：主尺上要读数的刻度线与游标上“0”刻度线对齐的那根，

|J0'J0|100%2.5% 'J0|J'J|100%1.5% J'不是游标边缘所对准的那根。

3、测周期是本实验中最大的误差源，提醒学生注意提高测量精度。

4、启动三线摆时如有晃动将造成较大的误差，所以启动时应注意启动方法：a、仪器

要在静止状态下开始启动：b：将上盘轻轻扭动约5度，随即转回原处：c：启动后可 连续转完五个50次周期，不必重新启动。

5、读数时，一定要注意仪器的最小分度值，在最小分度的基础上再读一位估计数字。 七、教学后记

1、本实验中，用到的测量工具多，一定要提醒学生注意测量工具的使用方法、最小 分度以及读数规范。

2、三线摆振动周期的测量是本实验的关键，强调起摆时下盘要保持静止，起摆角度 要小于5度。

3、实验报告填写时，要强调测量结果的标准化表达式、不确定度的计算、实验后思 考题的回答。