已知f(x)=e^x 求证:[f(a)-f(b)]/(a-b) < [f(a)+f(b)]/2
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解：不防设a<b
记g(x)=[f(x)+f(a)](x-a)-2[f(x)-f(a)],x≥a
g'(x)=f'(x)(x-a)+[f(x)+f(a)]-2f'(x)【注意到f(x)=f'(x)=f"(x)=e^x>0】
=f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]......(*)
对于(*)下面提供两种方法判断g'(x)的符号
【法1：】
再次求导
g"(x)=f"(x)(x-a)+f'(x)-f'(x)=f(x)(x-a)>0,x>a知g'(x)在x>a上单调增加，则g'(x)>g'(a)=0,x>a】
【法2：】
运用拉格朗日中值定理有
=f'(x)(x-a)-f'(ξ)(x-a)【其中ξ∈(a,x)】
=[f'(x)-f'(ξ)](x-a)
=[e^x-e^ξ](x-a)>0,x>a】
得到g(x)在x>a上单调增加,又g(x)可在x=a处连续则
g(x)>g(a)=0,x>a
即[f(x)+f(a)](x-a)-2[f(x)-f(a)]>0,x>a
特别的取x=b,[f(b)+f(a)](b-a)-2[f(b)-f(a)]>0,
整理即有:[f(a)-f(b)]/(a-b) < [f(a)+f(b)]/2
