长方体中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1中点。 求直线PB1与平面PAC所成的角...
发布网友
共3个回答
热心网友
解：（如图）
在长方体ABCD-A1B1C1D1中
PB1是平面AC1上的斜线，PD1是垂线，B1D1是斜线PB1在面A1C1上的射影
∵A1C1⊥B1D1
∴A1C1⊥P1B1（如果一个平面上的一条直线垂直于一条斜线的射影，那么这条直线也垂直于这条斜线）（射影定理）
∵AC∥A1C1
∴PB1⊥AC（如果一条直线垂直于平行线中的一条，那么也垂直于另一条）①
在Rt△PB1D1中
PD1＝1/2*DD1＝1 B1D1＝√1^2＋1^2＝√2^2（根号2）
得到：PB1＝√1^2＋√2^2＝√3（根号3）②
在Rt△PCD中
PC＝√1^2＋1^2＝√2^2（根号2）③
在Rt△BB1C中
B1C＝√1^2＋2^2＝√5（根号5）④
由②③④得到
B1C^2＝PB1^2＋PC^2
∴△PB1C是直角三角形
即PB1⊥PC ⑤
由 ①PB1⊥AC
⑤PB1⊥PC
∴PB1⊥平面PAC（如果一条直线垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）
所以 所求的直线PB1与平面PAC所成的角等于90°（直线与平面垂直的定义）
热心网友
∵AB=AD=1，AA1=2=DD1=BB1，P为DD1中点
∴PD=PD1=1，AC=BD=B1D1=√2
设底面对角线AC与BD交点为O，则有
PO=√(PD^2+DO^2)=√[1^2+(√2/2)^2]=√3/√2
B1O=√(BB1^2+BO^2)=√[2^2+(√2/2)^2]=3/√2
PB1=√(PD1^2+B1D1^2)=√[1^2+(√2)^2]=√3
∵对角线AC垂直平面BDD1B1，
∴平面PAC垂直平面BDD1B1
则直线PB1在平面PAC上的投影必然通过PO，
则∠OPB1即为直线PB1与平面PAC所成的角
对三角形POB1应用余弦定理，可得
B1O^2=PO^2+PB1^2-2PO*PB1*cos∠OPB1
即(3/√2)^2=(√3/√2)^2+(√3)^2-2*(√3/√2)*(√3)*cos∠OPB1
解得cos∠OPB1=0，∴∠OPB1=90°
即直线PB1与平面PAC所成的角为90°
热心网友
见图
