弹性力学:平面问题概述
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发布时间：2025-01-23 03:35
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时间：2025-01-23 03:37
从复杂的工程问题提炼出简单模型，用简单模型服务于复杂工程建设
平面问题的基本理论
1. 平面问题的基本理论1.1 两类平面问题
典型代表是：薄板（平面应力问题）与大坝截面（无限长柱体，平面应变问题）
· 平面应力问题
对于薄板，其板面不受力，但存在由平面应力引发的微小挠度。主要特征为：只存在3个应力分量，且它们都是关于（x，y）的函数。
注意：平面应力问题是一种近似解，因为其不能满足所有相容方程。
· 平面应变问题
对于无限长柱体，其截面均可认为是对称面，挠度为0，但存在平面应力挤压造成的z方向应力。主要特征为：只存在3个应变分量，且它们都是关于（x，y）的函数。
1.2 三大基本方程与边界条件
针对各向同性材料的平面问题，可做如下简化：平衡方程、几何方程、本构方程。
应力边界条件：对于集中荷载，在较小截面上应用圣维南放松积分等效其主矢和主矩。
问题描述与应力函数
1.3.1 应力法问题的描述
应力求解平面问题时应满足以下条件（单连体）：平衡微分方程、应力表示的相容方程、应力边界条件（假设无位移边界条件）。
1.3.2 Airy应力函数
为简化问题，应力求解平面问题可归结为求解应力函数，根据平衡微分方程，可找到任一特解。
2. 直角坐标系下的基本解
基本思路：通过逆解法和半逆解法求解应力函数，通过协调方程和边界条件解出系数。
2.1 逆解法
关键在于构造多项式，首先给出应力函数各项与应力状态的对应关系，即基本解，检验边界条件求解系数。
2.2 半逆解法
有多种构造函数的方式，包括量纲分析法和根据主要边界受力情况假设，求解所有系数。
3. 极坐标系下的基本解
3.1 基本方程简化基本方程，坐标变换，应力函数表示，相容方程。
3.2 轴对称问题
简化基本方程，位移问题假设，给出典型例题：圆筒问题、孔边应力集中问题、楔形体问题。
3.3 楔形体问题
量纲分析取应力函数形式，根据相容方程确定形式，通过应力边界条件定解，给出特殊受力情况。
总结
平面问题通过简化基本方程、应力函数表示等方法，简化了复杂工程问题，应用于薄板、大坝截面、圆筒、孔边应力集中、楔形体等问题，解决实际工程中的力学问题。
