(大四)板壳理论——Kirchhoff–Love Plate Theory
发布网友
发布时间：2025-01-23 03:35
共1个回答
热心网友
时间：2025-01-23 03:39
板壳理论是弹性力学中一个重要的分支，它主要应用于分析各向同性薄板在小挠度弯曲下的行为。以Kirchhoff–Love Plate Theory为例，我们将深入探讨基于该理论的简化建模及其合理性。
从真实结果出发，我们发现Kirchhoff–Love理论的六个应力分量并非等量级，其中，法向应力 [公式] 是主要应力，切应力 [公式] 是次要应力， [公式] 是更加次要的应力。因此，对于由 [公式] 引发的一系列效应，我们可以忽略，而 [公式] 对平衡的影响至关重要，不容忽视。
理论基于三个关键假定：首先， [公式] ，这相当于对物理方程进行简化，实质上是对原始方程的替换。在真实情况下， [公式] 很小，故对 [公式] 方向的影响可以忽略，从而引入此假定。然而，为什么可以做这样的假设？原因是 [公式] 本身较小，故其对变形的影响微乎其微。
其次， [公式] 。这一假定与上述假定一起构成直法线假定，旨在忽略次要应力对变形的影响。这一假设导致 [公式] 三个位移之间的关系 [公式] ，极大地简化了问题，使弹性力学的求解从三个未知数减少到一个。
需要强调的是，由于 [公式] 本身不为零，因此在假定 [公式] 的情况下，必须放弃其他切应力与切应变的本构关系。最终，基于上述假定，得到的本构方程为 [公式] ，这是平面应力状态下的简化方程。
此外，中面不考虑水平位移的假设同样关键。这一假设对应于材料力学中的“中性层”，即中面的纤维在弯曲变形后，既不伸长也不缩短。这一概念在梁的建模中同样适用。
总结而言，Kirchhoff–Love板理论简化了3D弹性问题，将15个未知函数简化为仅需求解 [公式] 方向位移的单一问题。理论的三大假定分别针对应力、变形和位移方向，通过简化和忽略次要因素，使得问题求解更为直观和高效。
对比材料力学中的梁结构建模，我们发现梁模型同样基于一系列简化假设，如平截面假定。而板壳理论的假定与梁模型的假定在某些方面具有共通性，这表明在不同结构分析中，通过简化和假设，可以达到类似的结果。
值得注意的是，对于同一点，在 [公式] 方向上，拥有统一的挠度 [公式] ，表明 [公式] 方向上各个点确实拥有统一的挠度（无相对挤压，仅有刚性平移）。然而， [公式] 方向上，应力分布并非统一，而是呈线性或其他形式分布。
