SPH光滑核函数
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发布时间：2025-01-22 15:09
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时间：2025-01-22 15:45
声明：SPH初探，不足之处，请各位大神多多指正，也希望大家帮忙完善。
光滑核函数（Smoothing Kernel Function），又称光滑函数、光滑核或简单核，它在众多文献中有着广泛的应用。它不仅决定了函数近似式的形式，还定义了粒子支持域的尺寸，同时影响着核近似和粒子近似的一致性和精度。
光滑核函数一般形态如图所示。
光滑核函数主要具有以下性质：
1. 在支持域上，光滑核函数必须满足正则化条件（归一性）：
该性质确保了在光滑核函数支持域上的积分是归一的。
2. 光滑核函数必须满足紧支性条件（紧支域）：
该性质将SPH近似从全局坐标转换为局部坐标，对于计算效率具有重要意义。
3. 在点上的粒子的支持域内任意一点处，有：
该性质在数学计算上并非必须，但在确保对某些物理现象的物理意义（或稳定性）的描述非常重要。在支持域的某些部分上，实际应用的光滑函数是负的。然而，在流体动力学的模拟中，光滑核函数的负值会导致一些非物理参数的出现，例如：负密度和负能量等。
4. 当粒子间的距离增大时，粒子的光滑核函数值应该是单调递减的（衰减性）；
该性质基于物理意义上考虑，较近的粒子应该对相关粒子具有更大的影响。也就是说，随着两个相互作用粒子间的距离增大，他们的相互作用力减小。
5. 当光滑长度趋于0时，光滑核函数应该满足Dirac delta function：
该性质确保了光滑长度趋向于0时，近似值应趋近函数值，也就是。当光滑核函数满足前面（1）-（4）的条件，在支持域趋向于0时，这个性质自然满足，光滑核函数就会趋近狄克拉函数。
6. 光滑核函数应为偶函数（对称性质）；
该性质表示与给定粒子距离相同但在不同位置上的粒子对给定粒子的影响应该是相同的。
7. 光滑核函数应充分光滑（光滑性）；
该性质是为了得到更好的近似值。对于一个函数及其导数的近似，光滑核函数必须充分连续以得到好的结果。通常，光滑核函数的值越光滑，所求函数及其导数的结果就越好。这是因为光滑核函数对粒子的无规则分布并不敏感，而且假如粒子的无规则状态不是很严重，近似积分插值的误差就会很小。
经典光滑核函数包括以下几种：
（1）[公式]核函数，其基本形式为：
该核函数仅包含的平方项，在距离计算中不需计算平方根，因此节省了计算量。但若采用该核函数计算压力，会出现压力较大时，粒子集聚的现象。
（2）[公式]核函数，其梯度为：
且[公式]，[公式]；拉普拉斯算子为：
且[公式]；下图为[公式]核函数、梯度、拉普拉斯算子的一维表示（h=1）。
（3）[公式]核函数，其梯度为：
且[公式]，[公式]；拉普拉斯算子为：
且[公式]；下图为[公式]核函数、梯度、拉普拉斯算子的一维表示（h=1）。
