请教一个关于秩为1时一个定理的证明。
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证明过程如下：假设矩阵A的特征值为λ1、λ2……λn，已知矩阵A的秩r(A)=1，因此可以假设λ1≠0，其余特征值λ2至λn均为0。
根据行列式性质，我们有|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)。进一步简化得到|λE-A|=(λ-λ1)λ^(n-1)=λ^n-λ1λ^(n-1)。
矩阵的迹定义为矩阵对角线元素之和，即∑aii=∑λi。因此，∑aii=λ1。
结合以上两点，可以推导出|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)。
此外，我们还可以直接使用公式进行证明，即|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)+∑(二阶子式的行列式)λ^(n-2)-∑(三阶子式的行列式)λ^(n-3)+……+(-1)^(n-1)∑(n阶子式的行列式=|A|)。
根据矩阵A的秩r(A)=1的性质，可以知道二阶子式的行列式=三阶子式的行列式=……=n阶子式的行列式=0。
因此，|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)。
综上所述，当矩阵A的秩为1时，其特征值中的非零特征值λ1满足上述证明过程，从而证明了该定理。
